함수 행렬식 문서 원본 보기

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'''함수 행렬식'''(函數行列式, {{llang|en|functional determinant}})은 무한차원 [[내적공간]](주로 함수 공간)에서의 선형 [[연산자]]의 [[행렬식]]이다. 유한차원에서의 행렬식은 간단하게 정의할 수 있지만, 무한차원에서는 이를 엄밀히 정의하기 힘들다. 그러나 [[양자론]]에서는 [[경로적분]]을 다루기 위하여 함수 공간에서의 임의의 미분 연산자의 행렬식을 (형식적으로나마) 취한다.

== 정의 ==
=== 가환수 함수 행렬식 ===
물리학에서는 다음과 같은 정의를 쓴다.
유한 차원의 [[유클리드 공간]]에서는 (만약 좌변이 수렴한다면) [[대칭행렬]] <math>A</math>에 대하여 다음의 식이 성립한다.
:<math>\int d^n\mathbf x\;\exp(-\tfrac12\mathbf x^\mathsf T\cdot A\mathbf x)=\frac1{\sqrt{\det(A/2\pi)}}</math>
따라서 임의의 함수 공간에서도 ([[브라-켓 표기법]]을 쓰면) 유사하게 임의의 대칭 연산자 <math>A</math>에 대하여
:<math>\int D\phi\;\exp(-\tfrac12\langle\phi|A|\phi\rangle)=\frac1{\sqrt{\det(A/2\pi)}}</math>
와 같이 정의한다.

또한, 다음 적분을 생각해 보자.
:<math>\int d^n\mathbf x d^n\mathbf y\exp(2\pi\mathrm i\mathbf x^\mathsf T\cdot A\mathbf y)=
\int d^n\mathbf x\;\delta(A\mathbf x)=1/\det A.</math>
이에 따라 마찬가지로
:<math>\int D\phi\;D\psi\;\exp(2\pi i\langle\phi|A|\psi\rangle)=1/\det A</math>
와 같이 정의한다.

=== 반가환수 함수 행렬식 ===
[[반가환수]]의 경우에는 함수 행렬식은 다음과 같이 정의할 수 있다.
두 반가환수 <math>\psi</math>, <math>\chi</math>를 생각하자. 이들은 편의상 실수라 하자. 그렇다면 다음 식을 생각해 볼 수 있다.
:<math>\int d\psi d\chi \exp(\chi\psi)=\int d\psi d\chi(1+a\chi\psi)=\int d\psi a\psi = a</math>.
다차원으로 일반화하면, 임의의 대칭 연산자 <math>A</math>에 대하여
:<math>\int d\psi d\chi \exp(\chi^\mathsf TA\psi)=\det A</math>,
브라-켓 표기법으로는
:<math>\int D\psi D\chi \exp(\langle\chi|A|\psi\rangle)=\det A</math>
이 된다.

마찬가지로
:<math>J=\begin{pmatrix}
0&1\\-1&0
\end{pmatrix}</math>
이 주어지면,
:<math>\int d^2\psi\exp\left(\frac12a\psi^\mathsf T J\psi\right)=\int d\psi_2d\psi_1\;(1+a\psi_1\psi_2)=a=\sqrt{\det(aJ)}=\operatorname{Pf}(aJ)</math>.
여기서 <math>\operatorname{Pf}(aJ)</math>는 반대칭 행렬의 [[파피안]]이다.
따라서 임의의 반대칭 연산자 <math>A</math>에 대하여
:<math>\int d^2\psi\exp(\psi^\mathsf TA\psi)=\sqrt{\det A}=\operatorname{Pf}A</math>
가 된다.

따라서 반가환수의 함수 행렬식은 가환수의 함수 행렬식의 역임을 알 수 있다. 즉, 일반적으로 함수 행렬식의 역을 취하려면 가환수 변수를 반가환수로 치환하면 된다.

=== 제타 함수 조절을 통한 정의 ===
함수 행렬식을 엄밀하게 정의하려면, 보통 [[제타 함수 조절]]을 사용한다. <math>D</math>가 미분 연산자라고 하고, 그 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]이 고윳값들 <math>\lambda_i</math>만으로 이루어진다고 하자. (즉 스펙트럼이 불연속적이다.) 이 경우, <math>s</math>가 충분히 작으면 보통 다음이 수렴한다.
:<math>\zeta_D(s)=\sum_{i;\lambda_i\ne0}\lambda_i^{-s}</math>.
이를 연산자 <math>D</math>의 '''제타 함수'''({{lang|en|zeta function}})이라고 한다. 이 함수를 <math>s</math>가 수렴하지 않는 곳까지 [[해석적 연속]]하자. (이는 보통 [[리만 제타 함수]]들로 나타내어지게 된다.) 그렇다면
:<math>\det D=\exp(-\zeta_D'(0))</math>
으로 정의할 수 있다. (제타 함수를 정의할 때, 유한한 행렬식을 얻기 위하여 보통 고윳값이 0인 모드를 제외한다.)

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] 위의 [[라플라스-벨트라미 연산자]]의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다. 예를 들어, 3차원 구 <math>\mathbb S^3</math>의 라플라스 연산자의 행렬식은
:<math>\det\Delta=\pi\exp(\zeta(3)/\pi^2)</math>
이다.<ref>{{저널 인용|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa91/aa9132.pdf|성=Kumagai|이름=H|제목=The determinant of the Laplacian on the n-sphere|저널=Acta Arithmetica|권=91|호=3|쪽=199–208|연도=1999}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[위너 공간]]
* [[파데예프-포포프 유령]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Gerald V.|성=Dunne|연도=2008|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=41|호=30|쪽=4006|doi=10.1088/1751-8113/41/30/304006|arxiv=0711.1178|제목=Functional determinants in quantum field theory}}
* {{저널 인용|제목= Zeta Function Methods and Quantum Fluctuations|이름=Emilio|성=Elizalde|doi=10.1088/1751-8113/41/30/304040|저널=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|권=41|호=30|쪽=4040|연도=2008}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:행렬식]]