함수 방정식 문서 원본 보기

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'''함수 방정식'''({{llang|en|functional equation}})은 넓은 의미로는 하나 또는 여러 개의 미지 [[함수]]가 포함된 [[방정식]]으로, [[미분 방정식]]과 [[적분 방정식]]도 이에 포함된다. 한편 좁은 의미로는 몇가지 함수값 사이의 관련성을 나타내는 방정식만을 가리킨다. (예: [[로그함수]]는 함수 방정식 <math>\log(xy) = \log(x) + \log(y)</math>에 의해 특정됨)

[[정의역]]이 [[자연수]]인 경우 함수는 [[수열]]로 간주될 수 있으며, 이 경우 좁은 의미의 함수 방정식은 [[점화식]]이 된다. 따라서 일반적으로 함수 방정식이라는 표현은 주로 [[실함수]]나 [[복소함수]]에 대해 논할 때 많이 사용되는 말이다.

또한 해를 찾을 때 [[매끄러운 함수]]라는 등의 조건이 추가되는 경우가 많은데, 그렇지 않으면 의도하지 않은 병리적인 함수까지 해로 포함하게 될 수 있기 때문이다. 예를 들어 [[감마함수]]는 등식 <math>f(x+1) = x f(x)</math>와 초기조건 <math>x=1</math>을 만족하는 함수인데, 실제로 이 조건을 만족하는 함수는 많지만, 복소평면 전체에서 [[유리형 함수|유리형]]이면서 x>0에 대해 <math>\log(f(x))</math>가 [[볼록 함수|볼록]]하다는 조건을 만족하는 것은 감마함수 뿐이다 (Bohr–Mollerup 정리).

== 예시 ==
*<math>f(x+P) = f(x)</math>는 [[주기함수]]를 정의한다.
*<math>f(x) = f(-x)</math>는 [[우함수]]를, <math>f(x) = -f(-x)</math>는 [[기함수]]를 정의한다.
*<math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math>는 [[선형함수]]에 의해 만족된다 ([[코시 함수 방정식]]). 다만 [[선택 공리]]에 따라 병리적인 비선형 해의 존재도 증명될 수 있다.
*<math>f(x+y) = f(x) f(y)</math>는 [[지수함수]]에 의해 만족된다. 코시 함수 방정식과 마찬가지로 병리적인 불연속 함수가 해로서 존재할 수 있다.
*<math>f(xy) = f(x) + f(y)</math>는 [[로그함수]]에 의해 만족된다. 서로소인 변수에 대해서 [[덧셈적 함수]]를 정의한다.
*<math>f(xy) = f(x) f(y)</math>는 [[거듭제곱|거듭제곱함수]]에 의해 만족된다. 서로소인 변수에 대해서 [[곱셈적 함수]]를 정의한다.
*<math>f(f(x)) = x</math>는 [[대합 (수학)|대합]]을 정의한다.

== 풀이 ==
함수 방정식의 해를 찾는 방법은 다양하다. 초등적인 경우 대입을 통해 풀릴 수 있으며, 함수가 전사, 단사, 우함수, 기함수라는 성질 등을 이용하기도 한다. [[가설 풀이]]나 [[수학적 귀납법]]을 통해 푸는 경우도 있다.

함수 방정식의 일부 부류에 대해서는 컴퓨터를 이용한 자동 풀이가 개발되고 있다. [[동적 계획법]]에서 함수 방정식의 해를 근사하는 연구가 활발히 이루어진다.

== 같이 보기 ==
* [[음함수]]
* [[미분 방정식]]

{{전거 통제}}

[[분류:함수 방정식 |함수 방정식 ]]