함수의 합성 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Compfun.svg|300px|섬네일|함수 <math>g\circ f</math>. 예를 들어 <math>(g\circ f)(c)={\#}</math>이다.]]
[[수학]]에서 '''함수의 합성'''(函數의合成, {{llang|en|function composition}}) 또는 '''합성 함수'''(合成函數, {{llang|en|composite function}})는 한 [[함수]]의 [[공역]]이 다른 함수의 [[정의역]]과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.

== 정의 ==
임의의 [[집합]] <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> 및 두 함수
:<math>f\colon X\to Y</math>
:<math>g\colon Y\to Z</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 '''합성''' <math>g\circ f</math>는 다음과 같은 함수이다.
:<math>g\circ f\colon X\to Z</math>
:<math>g\circ f\colon x\mapsto g(f(x))</math>
합성 <math>g\circ f</math>가 정의되려면, <math>f</math>의 [[공역]]과 <math>g</math>의 [[정의역]]이 같아야 한다.

== 성질 ==
함수의 합성은 [[결합 법칙]]을 만족시킨다. 즉, 임의의 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>, <math>W</math> 및 함수
:<math>f\colon X\to Y</math>
:<math>g\colon Y\to Z</math>
:<math>h\colon Z\to W</math>
가 주어졌을 때,
:<math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W</math>
이다. 이에 따라, ([[항등 함수]]의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이루는 것을 알 수 있다.
{{증명}}
임의의 <math>x\in X</math>에 대하여
:<math>(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)</math>
이므로
:<math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f</math>
이다.
{{증명 끝}}
임의의 집합 <math>X</math> 및 이를 [[정의역]]과 [[공역]]으로 하는 두 함수 <math>f,g\colon X\to X</math>가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 <math>g\circ f</math>, <math>f\circ g</math>을 정의할 수 있다. 이 경우 [[교환 법칙]]은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, <math>X=\mathbb R</math>가 [[실수체]]이고,
:<math>f\colon x\mapsto x+1</math>
:<math>g\colon x\mapsto x^2</math>
라고 하면,
:<math>g\circ f\colon x\mapsto(x+1)^2</math>
:<math>f\circ g\colon x\mapsto x^2+1</math>
이며,
:<math>(g\circ f)(1)=4\ne 2=(f\circ g)(1)</math>
이므로 <math>g\circ f\ne f\circ g</math>이다.

== 같이 보기 ==
* [[확률 변수]]
* [[고차 함수]]
* [[람다 대수]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Composition|title=Composition}}

{{집합론}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:이항연산]]