한-바나흐 정리 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''한-바나흐 정리'''(Hahn-Banach定理, {{llang|en|Hahn–Banach theorem}})는 열선형 함수에 대하여 지배당하는, 부분적으로 정의된 선형함수를 공간 전체로 확장시킬 수 있다는 정리다.

== 정의 ==
실수 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''열선형 함수'''(劣線型函數, {{llang|en|sublinear function}})는 다음 두 조건을 만족시키는 [[함수]] <math>f\colon V\to\mathbb R</math>이다.
* (동차성) 임의의 <math>\gamma\in \mathbb R^+</math>와 <math>v\in V</math>에 대하여, <math>f(\gamma v ) =  \gamma f(v)</math>
* (준가법성) 임의의 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>f(u + v) \le f(u) + f(v)</math>
예를 들어, <math>V</math>의 모든 [[반노름]]이나 [[노름]]은 열선형 함수이다.

실수 벡터 공간 <math>V</math>의 부분 벡터 공간 <math>U\subset V</math> 위에 정의된 [[선형함수]] <math>\phi\colon U\to\mathbb R</math>가 열선형 함수 <math>f\colon V\to\mathbb R</math>에 대하여 지배당한다고 하자. 즉,
:<math>\phi(u)\le f(u)\qquad\forall u\in U</math>
라고 하자. 그렇다면, '''한-바나흐 정리'''에 따라, <math>\phi</math>를 같은 열선형 함수에 지배당하는, <math>V</math> 전체에 정의된 선형함수 <math>\tilde\phi</math>로 확장시킬 수 있다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 선형함수 <math>\tilde\phi\colon V\to\mathbb R</math>가 존재한다.
* <math>\phi(u)=\tilde\phi(u)\qquad\forall u\in U</math>
* <math>\tilde\phi(v)\le f(v)\qquad\forall v\in V</math>
다만, 이러한 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

== 역사 ==
1920년대 말에 이 정리를 독립적으로 증명한 [[오스트리아]]의 [[수학자]] [[한스 한]](Hans Hahn)과 [[폴란드]]의 수학자 [[스테판 바나흐]](Stefan Banach)의 이름이 붙어 있다. 역사적으로, [[1912년]]에 오스트리아의 [[에두아르트 헬리]]가 정리의 특수한 경우를 증명하였고,<ref>{{저널 인용|제목=Eduard Helly, father of the Hahn–Banach theorem|이름=Harry|성=Hochstadt|날짜=1980-09|권=2|호=3|쪽=123–125|doi=10.1007/BF03023052|저널=The Mathematical Intelligencer|issn=0343-6993|언어=en}}</ref> [[헝가리]] 수학자 [[리스 머르첼]]이 [[1923년]] 한-바나흐 정리를 유도할 수 있는 일반적인 [[리스 확장정리]]를 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Gȧrding|이름=L.|날짜=1970|제목=Marcel Riesz in memoriam|저널=Acta Mathematica|권=124|호=1|쪽=1–11||mr=0256837|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* Rudin, Walter (1991). ''Functional Analysis'' (2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math. {{ISBN|978-0-07-054236-5}}
* {{저널 인용|제목=The Hahn–Banach theorem: the life and times|이름=Lawrence|성=Narici|공저자=Edward Beckenstein|url=http://at.yorku.ca/p/a/a/a/16.htm|6=|doi=10.1016/S0166-8641(96)00142-3|저널=Topology and its Applications|권=77|호=2|날짜=1997-06-03|쪽=193–211|zbl=0919.46005|언어=en|확인날짜=2014-09-11|보존url=https://web.archive.org/web/20110604230051/http://at.yorku.ca/p/a/a/a/16.htm|보존날짜=2011-06-04|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hahn-Banach theorem}}
* {{매스월드|id=Hahn-BanachTheorem|title=Hahn-Banach theorem}}

== 같이 보기 ==
* [[리스 확장정리]]
* [[초평면 분리정리]]

[[분류:함수해석학]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:함수해석학 정리]]