한원소 집합 문서 원본 보기

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{{확률론}}
[[집합론]]에서 '''한원소 집합'''(한元素集合, {{llang|en|singleton set}})은 하나의 원소만을 갖는 [[집합]]이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>S</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''한원소 집합'''이라고 한다.
* [[집합의 크기]]가 1이다.
* <math>S\ne\emptyset</math>이며, 임의의 <math>a,b\in S</math>에 대하여, <math>a=b</math>이다.
* <math>S</math>는 두 개의 [[부분 집합]]을 가진다. 즉, [[멱집합]] <math>\mathcal P(S)</math>의 크기는 2이다.
* [[집합]]과 [[함수]]의 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{Set}</math>에서의 [[끝 대상]]이다. 즉, 임의의 집합 <math>T</math>에 대하여, <math>T</math>에서 <math>S</math>로 가는 함수는 유일하다.
* 임의의 [[집합]] <math>T</math> 및 함수 <math>f\colon S\to T</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[단사 함수]]이다.
* 임의의 [[집합]] <math>T</math> 및 함수 <math>f\colon T\to S</math>에 대하여, <math>f</math>는 [[전사 함수]]이다.
* 임의의 [[집합]] <math>T</math>에 대하여, [[곱집합]] <math>S\times T</math>는 <math>T</math>와 같은 [[집합의 크기|크기]]를 갖는다. 즉, [[전단사 함수]] <math>\pi_2\colon S\times T\to T</math>가 존재한다.

== 한원소 공간 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''한원소 공간'''({{llang|en|singleton space}})이라고 한다.
* 집합으로서 한원소 집합이다.
* 위상 공간과 [[연속 함수]]의 범주의 [[끝 대상]]이다. 즉, 임의의 위상 공간 <math>Y</math>에 대하여, 연속 함수 <math>X\to Y</math>가 유일하게 존재한다.
* <math>X\cong\operatorname{Spec}K</math>인 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 존재한다. 여기서 <math>\operatorname{Spec}</math>은 [[환의 스펙트럼]]이다.
* 임의의  [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, <math>X\cong\operatorname{Spec}K</math>이다.
* [[이산 공간]]이자 [[비이산 공간]]이며, [[공집합]]이 아니다.
* [[콜모고로프 공간]]이자 [[비이산 공간]]이며, [[공집합]]이 아니다.
* [[하우스도르프 공간]]이자 [[비이산 공간]]이며, [[공집합]]이 아니다.
* [[이산 공간]]이자 [[연결 공간]]이며, [[공집합]]이 아니다.

== 한원소 대수 구조 ==
임의의 부호수에 대하여, 한원소 집합 위에는 유일한 [[대수 구조]]를 줄 수 있다. 예를 들어, [[군 (수학)|군]]의 구조를 주면 [[자명군]], [[환 (수학)|환]]의 구조를 주면 [[자명환]]이 된다. 이는 [[대수 구조 다양체]] 범주에서 [[끝 대상]]을 이룬다.

== 같이 보기 ==
* [[자명군]]
* [[자명환]]
* [[모임 (집합론)]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SingletonSet|title=Singleton set}}

{{집합론}}

[[분류:집합론의 기본 개념]]
[[분류:1]]