하이패스 필터 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:High-pass filter.jpg|섬네일|이상적인 고주파 통과 필터의 [[주파수 응답]] 그래프.]]
'''하이패스 필터'''(High-pass filter, HPF) 또는 '''고주파 통과 필터'''는 특정한 [[차단 주파수]] 이하 [[주파수]]의 [[신호 (전자공학)|신호]]를 [[감쇠]]시켜 차단 주파수 이상의 주파수 신호만 통과시키는 [[필터 (신호 처리)|필터]]를 의미한다.<ref>{{웹 인용 |url = http://www.rfdh.com/bas_rf/begin/filter.php3 |제목 = RF 회로개념 잡기 - PART 6 ▶ Filter (여파기) |저자 = |출판사 = RF designhouse |언어 = |날짜 = |확인날짜 = 2021년 3월 31일}}</ref> 필터의 세부적인 [[주파수 응답]]은 [[필터 설계]]에 따라 달라진다. 고주파 통과 필터는 대개 [[선형 시불변 시스템]]으로 모델링된다. 이러한 고주파 통과 필터는 종종 오디오 부문에서 '''저주파 차단 필터'''(low-cut filter)나 '''저역 차단 필터'''(bass-cut filter)라고 부른다.<ref name=Watkinson1998>{{서적 인용|last=Watkinson |first=John |title=The Art of Sound Reproduction |publisher=Focal Press |year=1998 |pages=[https://archive.org/details/artofsoundreprod0000watk/page/268 268], 479 |isbn=0-240-51512-9 |url=https://archive.org/details/artofsoundreprod0000watk |url-access=registration |access-date=March 9, 2010}}</ref> 고주파 통과 필터는 0이 아닌 평균 전압에 민감한 회로나 무선 주파수 장치 같은 곳에서 직류 전압을 차단하는 데 사용하는 등 다양한 분야에 활용된다. 또한 [[로우패스 필터]]와 같이 사용하여 [[대역 필터]]를 만들 수도 있다.<ref>{{서적 인용| title = Time Sequence Analysis in Geophysics | author = E. R. Kanasewich | publisher = University of Alberta | year = 1981 | isbn = 0-88864-074-9 | pages = 260 | url = https://books.google.com/books?id=k8SSLy-FYagC&q=band-pass-filter&pg=PA260 }}</ref>

[[광학]]에서는 "하이 패스"(High-pass)와 "로우 패스"(Low-pass)가 주파수와 빛의 파장 중 어느 쪽에 속하느냐에 따라서 서로 다른 의미를 가질 수 있다. 주파수의 하이 패스 필터(고주파 통과 필터)는 파장의 로우 패스 필터가 되며, 반대로 주파수의 로우 패스 필터(저주파 통과 필터)는 파장의 하이 패스 필터가 될 수 있다. 이 때문에 광학에서 파장 필터는 혼란을 막기 위해 로우 패스/하이 패스 대신 롱 패스(Long-pass), 숏 패스(Short-pass)라고 부른다.<ref>{{웹 인용 |url=http://www.globalspec.com/learnmore/optics_optical_components/optical_components/long_short_pass_filters |title=Long Pass Filters and Short Pass Filters Information |access-date=2017-10-04}}</ref>

== 1차 연속시간 회로 ==
[[파일:High pass filter.svg|섬네일|수동 아날로그 1차 하이패스 필터를 [[RC 회로]]로 구현한 모습.]]
오른쪽 그림과 같은 간단한 1차 하이패스 필터 회로는 입력 전압에 [[저항기]]와 [[축전기]]를 직렬로 이어 달고 저항기의 전압을 출력 전압으로 만들어 구현한다. 이 선형 시불변 시스템의 [[전달 함수]]는 다음과 같다.

:<math>\frac{V_{\rm out}(s)}{V_{\rm in}(s)}=\frac{sRC}{1+sRC}.</math>

여기서 저항과 캐패시턴스(정전 용량)의 곱(''R''&times;''C'')이 시간 상수(&tau;)이며 이는 [[차단 주파수]] ''f''<sub>''c''</sub>와 반비레한다. 즉 아래의 식이 성립한다.

:<math>f_c = \frac{1}{2 \pi \tau} = \frac{1}{2 \pi R C},\,</math>

여기서 차단 주파수란 필터의 극점이 필터의 [[주파수 응답]]을 벗어나는 시점의 주파수이다. 이보다 낮은 주파수일 경우 그 주파수의 신호는 차단당한다. 위 식을 통해 라플라스 변환 주파수 응답인 <math>H(s) = {V_{\rm out}(s) \over V_{\rm in}(s)}</math>을 그리면 아래와 같다.

:<math>H(s) = {V_{\rm out}(s) \over V_{\rm in}(s)} = {s \omega_0 \over (1 + s \omega_0)}</math>

[[파일:Active Highpass Filter RC.svg|섬네일|right|300px|능동 하이패스 필터]]
오른쪽의 능동 하이패스 필터는 [[연산 증폭기]]를 사용한 1차 하이패스 필터이다. 여기서의 선형 시불변 시스템 전달 함수는 아래와 같다.

:<math>\frac{V_{\rm out}(s)}{V_{\rm in}(s)}=\frac{-sR_2C}{1+sR_1C}.</math>

여기서 필터는 [[통과 대역]]에서 -''R''<sub>2</sub>/''R''<sub>1</sub>의 이득을 가지며 차단 주파수는

:<math>f_c = \frac{1}{2 \pi \tau} = \frac{1}{2 \pi R_1 C},\,</math>

다음과 같다.

이 회로는 능동 회로이므로 필터의 이득이 상수형이 아닐 수 있다. 이 경우 고주파 신호가 반전되고 ''R''<sub>2</sub>/''R''<sub>1</sub>만큼 증폭될 수 있다.

== 이산 시간 해석 ==
이산 시간에서의 하이패스 필터도 생각할 수 있다. 연속 시간 하이패스 필터를 이산 시간으로 샘플링하면 연속시간의 동작을 이산화할 수 있다.

우선, 위 문단에서의 RC 회로에서의 주파수 응답에 [[키르히호프의 전기회로 법칙]]과 [[전기용량]]를 이용하면 아래와 같다.

:<math>\begin{cases}
V_{\text{out}}(t) = I(t)\, R &\text{(V)}\\
Q_c(t) = C \, \left( V_{\text{in}}(t) - V_{\text{out}}(t) \right) &\text{(Q)}\\
I(t) = \frac{\operatorname{d} Q_c}{\operatorname{d} t} &\text{(I)}
\end{cases}</math>

여기서 <math>Q_c(t)</math>는 <math>t</math> 시간에 축전지에 충전되어 있는 전하량을 의미한다. 위 식에서 (Q) 식을 (I) 식에, (I) 식을 (V) 식에 대입하여 정리하면 아래와 같다.

:<math>V_{\text{out}}(t) = \overbrace{C \, \left( \frac{\operatorname{d} V_{\text{in}}}{\operatorname{d}t} - \frac{\operatorname{d} V_{\text{out}}}{\operatorname{d}t} \right)}^{I(t)} \, R = R C \, \left( \frac{ \operatorname{d} V_{\text{in}}}{\operatorname{d}t} - \frac{\operatorname{d} V_{\text{out}}}{\operatorname{d}t} \right)</math>

위 방정식을 이산화시킬 수 있다. 식을 단순하게 풀기 위해 입력 신호와 출력 신호를 일정한 시간 간격인 <math>\Delta_T</math>마다 샘플링된다고 가정하여 보자. 여기서 샘플링 된 입력 신호 <math>V_{\text{in}}</math>는 <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math>마다 값이 존재하며 출력 신호 <math>V_{\text{out}}</math>는 <math>V_{\text{out}}</math>마다 존재하게 샘플링되어 있다. 이를 하나로 묶으면 다음과 같다.

:<math>y_i = R C \, \left( \frac{x_i - x_{i-1}}{\Delta_T} - \frac{y_i - y_{i-1}}{\Delta_T} \right)</math>

이 식을 [[점화식]] 형태로 만들면 다음과 같다.

:<math>y_i = \overbrace{\frac{RC}{RC + \Delta_T} y_{i-1}}^{\text{Decaying contribution from prior inputs}} + \overbrace{\frac{RC}{RC + \Delta_T} \left( x_i -  x_{i-1} \right)}^{\text{Contribution from change in input}} </math>

여기서 1차 연속시간 RC 필터의 이산 시간 구현은 다음으로 적을 수 있다.

:<math>y_i = \alpha y_{i-1} + \alpha (x_{i} - x_{i-1}) \qquad \text{where} \qquad \alpha \triangleq \frac{RC}{RC + \Delta_T}</math>

위에서의 정의에 따라 <math>0 \leq \alpha \leq 1</math>이다. 여기서 변수 <math>\alpha</math>를 샘플링 간격 <math>\Delta_T</math>와의 곱을 통해 시간 상수 <math>RC</math>로 만들 수 있다.

:<math>RC = \Delta_T \left( \frac{\alpha}{1 - \alpha} \right)</math>

여기서

:<math>f_c=\frac{1}{2\pi RC}</math> so <math>RC=\frac{1}{2\pi f_c}</math>

이므로 <math>\alpha</math>와 <math>f_c</math>에는 다음과 같은 관계를 이루게 된다.

:<math>\alpha = \frac{1}{2\pi \Delta_T f_c + 1}</math>
:<math>f_c=\frac{1-\alpha}{2\pi \alpha \Delta_T}</math>

== 같이 보기 ==
* [[로우패스 필터]] (LPF)

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|Highpass filters}}
* [http://www.dspguide.com/ch7/1.htm Common Impulse Responses]
* [http://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/support/circuits_sys_review.pdf ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems], a short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
* [http://www.tedpavlic.com/teaching/osu/ece209/lab3_opamp_FO/lab3_opamp_FO_phase_shift.pdf ECE 209: Sources of Phase Shift], an intuitive explanation of the source of phase shift in a high-pass filter. Also verifies simple passive LPF transfer function by means of trigonometric identity.

[[분류:신호 처리]]
[[분류:선형 필터]]
[[분류:음향학]]
[[분류:소리]]
[[분류:신시사이저 모듈]]