하이젠베르크 스핀 사슬 문서 원본 보기

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[[물리학]]에서 '''하이젠베르크 스핀 사슬'''({{llang|en|Heisenberg spin chain}})은 1차원 [[자석]]의 간단한 [[양자 역학]] 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 자연수 <math>L\in\mathbb N</math>. 이는 스핀 사슬의 '''길이'''이다.
* <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 복소수 [[군의 표현|표현]] <math>V=\mathbb C^{2s+1}</math>, <math>\vec\sigma_{ab}</math>, <math>a,b\in\{1,2,\dotsc,2s+1\}</math>. 이는 [[스핀]] <math>s\in\{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc\}</math>에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 <math>s</math>에 대응되는 표현은 <math>2s+1</math> 복소수 차원 표현이다.
* 3×3 실수 [[대칭 행렬]] <math>J_{ij}\in\operatorname{Mat}(3;\mathbb R)</math>.
그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 [[힐베르트 공간]]은 [[텐서곱]]
:<math>\mathcal H=V^{\otimes L}</math>
이다. 각 <math>i\in\{1,\dotsc,L\}</math>에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 <Math>V_i</math> 및 그 위에만 작용하는 <math>\operatorname{SU}(2)</math> 표현 <math>\vec\sigma_i</math>를 정의할 수 있다.

<math>s=1/2</math>일 경우, 그 위의 [[해밀토니언 연산자]]는 다음과 같다.
:<math>H_{1/2} = \frac1\hbar \sum_{i=1}^L J(\vec \sigma_i,\vec \sigma_{i+1}) </math>
여기서 <math>i\in\{1,2,\dotsc,L\}</math>은 [[합동 산술|법 <math>L</math>]]로 취급된다. 즉, <math>L\equiv 0\pmod L</math>이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.
* 만약 <math>J</math>의 세 [[고윳값]] <math>(J_1,J_2,J_3)</math>이 모두 같다면 (즉, <math>J</math>가 <math>\operatorname O(3)</math> 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXX 스핀 사슬'''({{llang|en|Heisenberg XXX spin chain}})이라고 한다.
** 이 경우, 만약 <math>J_1=J_2=J_3>0</math>이 양수라면 이는 '''[[강자성]] XXX 스핀 사슬'''(強磁性XXX spin사슬, {{llang|en|ferromagnetic XXX spin chain}})이라고 한다.
** 이 경우, 만약 <math>J_1=J_2=J_3<0</math>이 음수라면 이는 '''[[반강자성]] XXX 스핀 사슬'''(反強磁性XXX spin사슬, {{llang|en|antiferromagnetic XXX spin chain}})이라고 한다.
* 만약 <math>J</math>의 세 고윳값 <math>(J_1,J_2,J_3)</math> 가운데 두 개가 같다면 (즉, <math>J</math>가 <math>\operatorname O(2)</math> 불변이라면), 이를 '''하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬'''({{llang|en|Heisenberg XXZ spin chain}})이라고 한다.
* 만약 <math>J</math>의 세 고윳값 <math>(J_1,J_2,J_3)</math>이 모두 서로 다르다면 (즉, <math>J</math>의 [[안정자군]]이 [[자명군]]이라면), 이를 '''하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬'''({{llang|en|Heisenberg XYZ spin chain}})이라고 한다.
또한, 사용되는 스핀 <math>s</math>를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX<sub>½</sub> 스핀 사슬”은 <math>J_1=J_2=J_3</math>이며, <math>s=1/2</math>인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

== 성질 ==
하이젠베르크 XXX<sub>½</sub> 스핀 사슬의 [[해밀토니언 연산자]]는 <math>z</math> 방향 총 스핀 연산자
:<math>S_z = \sum_{i=1}^L \sigma_i^z</math>
와 가환하며, 이를 [[마그논]] 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXX<sub>''s''</sub> 스핀 사슬의 <math>N</math>-마그논 베테 방정식은 다음과 같다.
:<math>\prod_{m \in \{1,\dotsc,N\}\setminus \{n\}} \frac{\lambda_n - \lambda_m + \mathrm i} {\lambda_n - \lambda_m - \mathrm i} = 
\left(
\frac{\lambda_n + \mathrm is}
{\lambda_n - \mathrm is}
\right)^L\qquad\forall n \in \{1,\dotsc,N\}</math>

== 역사 ==
[[베르너 하이젠베르크]]가 1928년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Werner|성=Heisenberg|저자링크=베르너 하이젠베르크|제목=Zur Theorie des Ferromagnetismus|저널=Zeitschrift für Physik|권= 49|호= 9–10|날짜= 1928-09|쪽= 619–636|doi=10.1007/BF01328601|issn=0044-3328|언어=de}}</ref> 곧 1931년에 [[한스 베테]]가 XXX 스핀 사슬을 [[베테 가설 풀이]]({{llang|en|Bethe ansatz}})를 도입하여 풀었다.<ref>{{저널 인용|이름=Hans|성=Bethe|저자링크=한스 베테|제목=Zur Theorie der Metalle|저널=Zeitschrift für Physik|날짜=1931-03|권=71|호=3–4|쪽=205–226|doi=10.1007/BF01341708|issn=0044-3328|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* Rodney J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982

== 외부 링크 ==
* {{서적 인용 | url=https://dspace.library.uu.nl/handle/1874/253835 | 제목=The Bethe/gauge correspondence | 기타=석사 학위 논문 | 이름=Jules | 성=Lamers | 날짜=2012 | 출판사=[[위트레흐트 대학교]] | 언어=en | access-date=2017-08-30 | archive-date=2017-08-31 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170831081830/https://dspace.library.uu.nl/handle/1874/253835 | url-status= }}

{{전거 통제}}

[[분류:양자역학]]
[[분류:자기]]
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