하우스도르프 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''하우스도르프 측도'''({{llang|en|Hausdorff measure}})는 임의의 [[거리 공간]]에 <math>d</math>차원 "부피"를 부여하는 방법이다.

== 정의 ==
[[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math>의 '''지름'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{diam}X=\sup\{d_X(x,y)\colon x,y\in X\}\qquad(X\ne\varnothing)</math>
:<math>\operatorname{diam}\varnothing=0</math>

임의의 <math>d>0</math> 및 <math>\delta>0</math>에 대하여, 함수
:<math>H^d_\delta\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
:<math>H^d_{\delta,\text{open}}\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
:<math>H^d_{\delta,\text{closed}}\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
를
다음과 같이 정의하자.
:<math>H^d_\delta(S)=\inf\left\{\sum_{U\in\mathcal U}(\operatorname{diam}U)^d\colon\mathcal U\subseteq\mathcal P(X),\;|\mathcal U|\le\aleph_0,\;\bigcup_{U\in\mathcal U}U\supseteq S,\;\forall U\in\mathcal U\colon\operatorname{diam}U<\delta\right\}</math>
:<math>H^d_{\delta,\text{open}}(S)=\inf\left\{\sum_{U\in\mathcal U}(\operatorname{diam}U)^d\colon\mathcal U\subseteq\mathcal P(X),\;|\mathcal U|\le\aleph_0,\;\bigcup_{U\in\mathcal U}U\supseteq S,\;\forall U\in\mathcal U\colon\operatorname{diam}U<\delta,\,U\text{ open}\right\}</math>
:<math>H^d_{\delta,\text{closed}}(S)=\inf\left\{\sum_{U\in\mathcal U}(\operatorname{diam}U)^d\colon\mathcal U\subseteq\mathcal P(X),\;|\mathcal U|\le\aleph_0,\;\bigcup_{U\in\mathcal U}U\supseteq S,\;\forall U\in\mathcal U\colon\operatorname{diam}U<\delta,\,U\text{ closed}\right\}</math>
그렇다면 '''하우스도르프 외측도'''
:<math>H^d\colon\mathcal P(X)\to[0,\infty]</math>
는 다음과 같다.
:<math>H^d(S)=\sup_{\delta>0}H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to0}H^d_\delta(S)
=\sup_{\delta>0}H^d_{\delta,\text{open}}(S)=\lim_{\delta\to0}H^d_{\delta,\text{open}}(S)
=\sup_{\delta>0}H^d_{\delta,\text{closed}}(S)=\lim_{\delta\to0}H^d_{\delta,\text{closed}}(S)
</math>
즉, 덮개를 열린 집합 또는 닫힌 집합에 국한하여도 상관없다. 이는 [[외측도]]를 이루며, 이를 하우스도르프 외측도에 대한 카라테오도리 가측 집합들로 국한하면 이는 [[측도]]를 이룬다. 이를 <math>d</math>차원 '''하우스도르프 측도'''라고 한다.

== 성질 ==
하우스도르프 측도는 [[완비 측도]]이다.

모든 [[보렐 집합]]은 하우스도르프 가측 집합이며, 완비 측도이므로 모든 [[르베그 가측 집합]] 역시 하우스도르프 가측 집합이다.

<math>n</math>차원 [[유클리드 공간]]에서, <math>n</math>차원 하우스도르프 가측 집합들은 르베그 가측 집합과 일치하며, 이 경우 하우스도르프 측도는 (상수 계수를 제외하고) 르베그 측도와 일치한다. <math>n\ne d</math>일 경우 <math>d</math>차원 하우스도르프 가측 집합 가운데 르베그 가측 집합이 아닌 것이 있을 수 있다.

수슬린({{llang|en|Souslin}}) [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 위의 <math>d</math>차원 하우스로르프 측도 <math>H^d</math>를 생각하자. 그렇다면, 임의의 [[보렐 집합]] <math>B\in\mathcal B(X)</math> 및 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>H^d(B)-\epsilon\le H^d(K_{B,\epsilon})<\infty</math>
인 [[콤팩트 집합]] <math>K_{B,\epsilon}\subseteq B</math>가 존재한다.<ref name="Bogachev">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume II
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|140, §7.14.x, Theorem 7.14.31}}

== 같이 보기 ==
* [[하우스도르프 차원]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Hausdorff measure}}
* {{매스월드|id=HausdorffMeasure|제목=Hausdorff measure}}

{{전거 통제}}

[[분류:프랙탈]]
[[분류:계량기하학]]
[[분류:측도]]
[[분류:차원론]]