하우스도르프 차원 문서 원본 보기

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[[파일:Great Britain Hausdorff.svg|섬네일|그레이트브리튼 섬 해안선의 하우스도르프 차원의 근사값을 구하는 방법.]]

[[기하학]]에서 '''하우스도르프 차원'''({{llang|en|Hausdorff dimension}})은 [[거리 공간]]의 부분집합의 [[차원]]을 [[자연수]]에서 음이 아닌 [[실수]]로 확장한 것이다. [[펠릭스 하우스도르프]]의 이름을 땄다.

== 개념 ==
집합 <math>S</math>와 반지름 <math>r</math>이 주어졌을 때, <math>S</math>를 <math>N(r)</math>개의 [[공 (수학)|공]]으로 덮을 수 있다고 하자. 하우스도르프 차원 <math>d</math>는 <math>r</math>이 <math>0</math>으로 갈 때 <math>N(r)</math>가 <math>r^{-d}</math>로 수렴하게 만드는 유일한 실수 <math>d</math>를 말한다.

== 정의 ==
[[거리 공간]] <math>X</math>의 하우스도르프 차원은 다음과 같다.
: <math>\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X) := \inf {\left\{ d \ge 0 : \operatorname{H}^d(X) = 0 \right\} }</math>
(단, <math>\operatorname{H}^d(X)</math>는 <math>X</math>의 <math>d</math>차원에서의 [[하우스도르프 측도]].)

== 예 ==

* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^n</math>의 하우스도르프 차원은 <math>n</math>이다.
* [[원]] <math>S^1</math>의 하우스도르프 차원은 1이다.
* [[가산 집합]]의 하우스도르프 차원은 0이다.
* [[칸토어 집합]]은 자기 자신과 닮았고 크기가 ⅓인 두 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 <math>\log 2/\log 3\approx0.63</math>이다.
* [[시에르핀스키 삼각형]]은 자기 자신과 닮았고 크기가 ½인 세 개의 부분집합으로 구성되어 있으므로, 하우스도르프 차원은 <math>\log 3/\log 2\approx1.58</math>이다.
* [[멩거 스펀지]]는 <math>\ln 20/\ln 3\approx2.73</math> 차원이다.

== 같이 보기 ==
* [[프랙탈 차원]]

{{프랙탈}}

[[분류:프랙탈]]
[[분류:차원]]
[[분류:차원론]]
[[분류:계량기하학]]