하세-베유 제타 함수 문서 원본 보기

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수학에서, '''하세-베유 제타 함수'''({{llang|en|Hasse–Weil zeta function}})는 주어진 [[대수다양체]]의 일부 성질들을 나타내는 [[L-함수]]의 하나이다. 유한체에 대한 점들의 수에 대한 정보를 담고 있다.

== 정의 ==
<math>V/\mathbb Q</math>가 유리수체에 대한 비특이 [[사영 대수다양체]]라고 하자. 그렇다면 모든 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여 <math>V/\mathbb F_p</math>를 정의할 수 있다. 그렇다면 <math>V</math>의 하세-베유 제타 함수 <math>Z_{V,\mathbb Q}(s)\colon\mathbb C\to\mathbb{CP}^1</math>를
:<math>Z(V/\mathbb Q,s)=\prod_p\zeta(V/\mathbb F_p;p^{-s})</math>
을 [[국소 제타 함수]]({{llang|en|local zeta function}}) <math>\zeta(V/\mathbb F_p;p^{-s})</math>들의 곱으로 정의할 수 있다. 이 정의는 유한 개의 <math>p^{-s}</math>들의 [[유리 함수]]에 대하여 약간의 모호함을 가지지만, 이 함수의 성질은 이 모호함에 크게 의존하지 않는다.

이 모호함을 해소하려면 [[에탈 코호몰로지]]를 사용하여야 한다.

== 하세-베유 L-함수 ==
하세-베유 제타 함수의 특수한 경우로, [[타원 곡선]]의 '''하세-베유 L-함수'''({{llang|en|Hasse–Weil L-function}})가 있다. [[유리수체]]에 대한 타원 곡선 <math>E/\mathbb Q</math>의 '''하세-베유 L-함수''' <math>L(s,E)</math>는 다음과 같다.
:<math>L(E;s)=
\frac{\zeta(s)\zeta(s-1)}{Z(E_n/\mathbb F_p,s)}</math>
여기서 <math>\zeta(s)</math>는 [[리만 제타 함수]]이다.

== 하세-베유 추측 ==
'''하세-베유 추측'''({{llang|en|Hasse–Weil conjecture}})에 따르면, 하세-베유 제타 함수는 [[복소평면]] 전체에서 [[유리형 함수]]로 [[해석적 연속]]이 가능해야 한다. [[타원 곡선]]의 경우는 [[모듈러성 정리]]에 따라 이미 증명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[L-함수]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
 | 성=Silverman
 | first=Joseph H.
 | 날짜=2009
 | 제목=The Arithmetic of Elliptic Curves
 | 기타=Graduate Texts in Mathematics 106
 | publisher=Springer
 | 위치=New York
 | 판=2판
 | isbn=978-0-387-09493-9
 | issn=0072-5285
 | doi=10.1007/978-0-387-09494-6
 | url=http://www.math.brown.edu/~jhs/AECHome.html
 | 언어=en
 | zbl=1194.11005
 | 확인날짜=2014-01-01
 | 보존url=https://web.archive.org/web/20130430085000/http://www.math.brown.edu/~jhs/AECHome.html
 | 보존날짜=2013-04-30
 | url-status=dead
 }}
* {{서적 인용|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=97|날짜=1993|제목=Introduction to elliptic curves and modular forms|이름=Neal|성=Koblitz|doi=10.1007/978-1-4612-0909-6|isbn=978-1-4612-6942-7|issn=0072-5285|판=2판|zbl=0804.11039|언어=en}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]