하세-민코프스키 정리 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''하세-민코프스키 정리'''({{llang|en|Hasse–Minkowski theorem}})는 [[수체]]에 대한 [[이차 형식]]의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 [[국소-대역 원리]](local–global principle)의 대표적인 예이다.

== 정의 ==
[[대수적 수체]] <math>K</math>에 대한 두 [[이차 형식]] <math>p_1,p_2</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 명제는 서로 동치이다.
* <math>K</math>에 대하여 <math>p_1</math>과 <math>p_2</math>는 동치이다.
* <math>K</math>의 모든 완비화(실수, 복소수, [[p진수]])에 대하여 <math>p_1,p_2</math>는 동치이다.

따라서, 일반적인 수체에 대한 [[이차 형식]]의 분류는 [[완비체]] 실수·복소수·[[p진수]](의 [[대수적 확대]])에 대한 [[이차 형식]]들의 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같다.
* 실수 이차형식은 차원과 부호수(signature)에 따라 완전히 분류된다.
* (비퇴화) 복소 이차형식은 차원에 따라 완전히 분류된다.
* [[p진수]](의 [[대수적 확대]])에 대한 이차형식은 차원과 [[하세 불변량]](Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다.

또한, 대수적 수체를 넘어서 일반적인 [[대역체]]에 대하여서도 하세-민코프스키 정리가 성립한다. 이 경우 함수체들의 완비화([[국소체]])에 대하여 이차형식들을 비교해야 한다.

== 역사 ==
[[헤르만 민코프스키]]가 유리수체에 대한 경우를 증명하였고, [[헬무트 하세]]가 이를 일반적인 [[대수적 수체]]에 대하여 확장하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| last=Kitaoka | first=Yoshiyuki | title=Arithmetic of quadratic forms | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=106 | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-40475-4 | zbl=0785.11021 |언어=en}}
* {{서적 인용| first=Jean-Pierre | last=Serre | authorlink=장피에르 세르 | title=A course in arithmetic | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=7 | publisher=Springer | year=1973 | isbn=0-387-90040-3 | zbl=0256.12001|언어=en }}

{{전거 통제}}

[[분류:이차 형식]]
[[분류:수론 정리]]
[[분류:헤르만 민코프스키]]