하방미분 문서 원본 보기

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[[파일:Subderivative_illustration.png|섬네일|right|250px|한 볼록함수(파란색)의 x<sub>0</sub>에서의 '하방미분계수'들을 기울기(빨간색)로 나타낸 그래프.]]

수학에서 '''하방미분'''(subdifferential, subderivative)은 [[미분]]을 일반화하여 [[미분가능]]하지 않은 [[볼록 함수]]에 적용할 수 있도록 하는 방법이다. [[볼록 최적화]] 등 볼록 함수를 연구하는 해석에서 중요하게 사용된다.

== 정의 ==
볼록함수 <math>f : I \to \mathbb{R}</math>가 있을 때, I의 점 x<sub>0</sub>에서의 '''하방미분계수'''는,
:<math>f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)</math>
가 I의 모든 점 x에 대해 성립하게 하는 실수 c를 가리킨다.

x<sub>0</sub>에서의 하방미분계수가 되는 실수는 하나가 아닐 수 있으며, 사실 그 값들의 집합은 [[닫힌 구간]] [a, b]의 꼴로서, 여기서 a, b는 각각

:<math>a=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

:<math>b=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>

가 된다. 이러한 닫힌 구간 [a, b]의 유일한 존재는 보장되며, 이 집합을 x<sub>0</sub>에서의 '''하위미분'''이라 한다.

== 예시 ==
볼록함수인 f(x) = |x|는 본래 x = 0에서 미분불가능하지만 하방미분법을 사용하면 원점에서 하위미분이 [-1,1]이라는 닫힌 구간이 됨이 보여질 수 있다. 또한 이때 x<0인 모든 x점에서 {-1}이라는 한원소 집합이 하위미분이 되고, x>0인 모든 점에서는 {1}이 하위미분이 된다.

== 성질 ==
*볼록함수 <math>f : I \to \mathbb{R}</math>은 <math>x_0</math>에서 하방미분 집합이 [[한원소 집합]]인 경우에만 미분가능하고, 그 한원소집합의 원소가 일반 미분값이다.
*x<sub>0</sub>의 하방미분 집합에 0이 포함되어 있으면 그 점은 함수의 최소점이 된다.
*함수의 하방미분을 <math>\partial</math>로 나타낼때 볼록함수 <math>f, g</math>에 대해 <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math>이다.

== 하방기울기 ==
하방미분의 개념은 [[다변수 함수]]에도 적용될 수 있다. 유클리드 공간 <math>\mathbb{R}^n</math>의 볼록 열린 집합에서 정의된 볼록 실함수 <math>f : U \to \mathbb{R}</math>이 있을 때 x<sub>0</sub>에서의 '''하방기울기'''(subgradient)는
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0)</math> (<math>\cdot</math>은 [[스칼라곱]])
가 U의 모든 점 x에 대해 성립하게 하는 벡터 <math>v</math>이다. 일변수함수와 마찬가지로 하방기울기값들의 집합을 하위미분이라 한다. 이때 하방미분 집합은 항상 볼록 [[컴팩트 집합|컴팩트]] 집합이다.

== 역사 ==
하방미분법은 1960년대 초에 J. J. Moreau와 R. T. Rockafellar에 의해 처음 도입되었다.<ref>{{서적 인용|first=R. T. |last=Rockafellar |title=Convex Analysis |url=https://archive.org/details/convexanalysis0000rock |location= |publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 }}</ref> 1980년대에는 F. H. Clarke에 의해 이를 더욱 일반화하여 볼록함수가 아닌 경우에 대해서도 적용하는 방법이 고안되었다.<ref>{{서적 인용|last=Clarke|first=Frank H.|title=Optimization and nonsmooth analysis|url=https://archive.org/details/optimizationnons0000clar|url-access=registration|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|year=1983|isbn=0-471-87504-X|mr=0709590}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[미분]]
* [[약도함수]]
* [[볼록 최적화]]

[[분류:미분의 일반화]]
[[분류:볼록 최적화]]
[[분류:변분해석학]]