하르 측도 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''하르 측도'''(Haar測度, {{llang|en|Haar measure}})는 특수한 [[위상군]] 위에 정의할 수 있는, 군의 구조를 따르는 [[측도]]다.<ref>{{서적 인용 | last = Nachbin | first = Leopoldo | title = The Haar integral | url = https://archive.org/details/haarintegral0000nach | publisher = D. Van Nostrand | location = Princeton, NJ | year = 1965 }}</ref>

== 정의 ==
<math>G</math>가 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]]이라고 하자. 이 군에 [[콤팩트 집합]]들로 생성되는 [[시그마 대수]] <math>\mathcal K</math>를 부여하여 [[가측 공간]] <math>(G,\mathcal K)</math>로 만들 수 있다.

'''하르 정리'''({{llang|en|Haar's theorem}})에 따르면, [[가측 공간]] <math>(G,\mathcal K)</math> 위에 다음을 만족하는 [[측도]] <math>\mu</math>가 존재한다.
* (비자명성) <math>\mu(S)\ne0</math>인 [[가측 집합]] <math>S</math>가 존재한다.
* (왼쪽 곱셈과의 호환) <math>\mathcal S</math>가 가측 집합이고, <math>g\in G</math>이면 <math>\mu(gS)=\mu(S)</math>이다.
* (콤팩트 공간의 유한성) <math>K</math>가 [[콤팩트 집합]]이라면 <math>\mu(K)<\infty</math>이다.
* (외부 규칙성) <math>S</math>가 가측 집합이면 <math>S</math>를 부분집합으로 가지는 가측 [[열린집합]]들의 측도의 [[하한]]은 <math>S</math>의 측도와 같다.
* (내부 규칙성) <math>U</math>가 가측 [[열린집합]]이라면 <math>U</math>의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] 부분집합들의 측도의 [[상한]]은 <math>U</math>의 측도와 같다.
이 조건들을 모두 만족하는 측도를 '''왼쪽 하르 측도'''({{llang|en|left Haar measure}})라고 한다. 마찬가지로, 오른쪽 곱셈과 호환되는 측도를 '''오른쪽 하르 측도'''({{llang|en|right Haar measure}})라고 한다.

또한, <math>\mu</math>와 <math>\mu'</math>가 각각 하르 측도라면 <math>\mu=s\mu'</math>인 실수 <math>s</math>가 존재한다. 즉, 하르 측도는 곱셈 상수를 제외하고는 유일하다.

(내부 규칙성은 일반적 [[가측 집합]]에 대하여 성립하지 않지만 외부 규칙성은 임의의 [[가측 집합]]에 대하여 성립한다.)

== 예 ==
[[이산군 (수학)|이산군]]의 경우, 하르 측도는 [[셈측도]]이다.

=== 유클리드 공간 ===
유클리드 공간은 덧셈에 대하여 아벨 [[리 군]]을 이룬다. 이 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도는 일치하며, 모두 [[르베그 측도]]의 상수배이다.

=== 곱셈군 ===
0이 아닌 실수의 곱셈군 <math>\mathbb R^\times</math>은 1차원 아벨 리 군이며, 그 하르 측도는 다음과 같다.
:<math>\mu(t) = \frac1{|t|}\mathrm dt</math>

=== 리 군 ===
(유한 차원) [[리 군]]의 경우, 왼쪽 (또는 오른쪽) 하르 측도는 왼쪽 (또는 오른쪽) 평행 이동 불변 최고차 [[미분 형식]]으로 정의된다.

[[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;\mathbb R)</math>의 왼쪽 하르 측도는 다음과 같다.
:<math>\mu(M) = \frac1{\det M} \mathrm d^{n^2}M</math>
여기서
:<math>\mathrm d^{n^2}M = \prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n \mathrm dM_{i,j}</math>
이다.

== 역사 ==
하르 얼프레드({{llang|hu|Haar Alfréd}})가 1933년 도입하였다.<ref name="Haar">{{저널 인용 | first = A. | last = Haar | title = Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen | 저널 = Annals of Mathematics | volume = 34 | series = 2 | issue = 1 | 날짜 = 1933-01 | pages = 147–169 |jstor=1968346|doi=10.2307/1968346|언어=de}}</ref> 하르는 [[제2 가산 공간]]의 경우에 하르 측도의 존재를 증명하였다. [[앙드레 베유]]가 1940년 일반적인 [[하우스도르프 공간]]의 경우에 대하여 [[선택 공리]]를 사용하여 증명하였고,<ref>{{서적 인용 | last = Weil | first = André | 저자링크 = 앙드레 베유 | title = L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications | series = Actualités Scientifiques et Industrielles | publisher = Hermann | year = 1940 | place = Paris | volume = 869|언어=fr}}</ref> [[앙리 카르탕]]은 같은 정리를 [[선택 공리]]를 사용하지 않고 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last = Cartan | first = Henri | 저자링크 = 앙리 카르탕 | title = Sur la mesure de Haar | journal = Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris | volume = 211 | pages = 759–762 | year = 1940 | 언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[폰트랴긴 쌍대성]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Haar measure|first=D.P.|last=Zhelobenko|coauthors=A.I. Shtern}}
* {{매스월드|id=HaarMeasure|title=Haar measure|저자=Eric W. Weisstein, Mohammad Sal Moslehian}}
* {{nlab|id=Haar measure}}

[[분류:리 군]]
[[분류:위상군]]
[[분류:측도]]
[[분류:조화해석학]]