하르톡스 확장정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[다변수 복소해석학]]에서 '''하르톡스 확장 정리'''(Hartogs’ extension theorem, -擴張定理)는 [[복소수|복소 일변수]]의 [[해석학 (수학)|해석학]]에서는 성립하지 않는 복소 다변수만의 특성을 다루는 정리다.

== 정의 ==
하르톡스 확장 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* <math>C^n</math> (n>1)의 적당한 [[열린집합]] G와 G의 [[콤팩트 집합]] K에 대해 G/K가 [[연결 집합]]일 때, f가 G/K 위에서 정의된 C로 가는 [[정칙 함수]]라 하자. 그러면, G에서 C로 가는 f의 확장 함수가 유일하게 존재한다.

== 일변수에서의 반례 ==
이상의 하르톡스 확장 정리는 일변수에서는 성립하지 않는다. C/{0}에서 C로 가는 함수 <math>f(z) := \frac{1}{z}</math>를 생각하자. {0}은 C에서 콤팩트 집합이고 C/{0}은 [[연결 집합]]이며 f(z)는 [[정칙 함수]]이므로 이 함수는 하르톡스 확장 정리의 조건을 만족한다. 그러나 이 함수는 C로 확장 불가능한 함수이다. 이처럼 하르톡스 확장 정리가 성립하는 것은 일변수에서 성립하지 않는 다변수에서만의 현상인데, 이를 일컬어 '''하르톡스 현상'''(Hartogs’ phenomenon)이라고 한다.

== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[프리드리히 하르톡스]]가 1906년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Hartogs|이름=Fritz|저자링크=프리드리히 하르톡스|날짜=1906|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?IDDOC=361856|제목=Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlichen, insbesondere über die Darstellung derselber durch Reihen welche nach Potentzen einer Veränderlichen fortschreiten|저널=Mathematische Annalen|권=62|쪽=1–88|doi=10.1007/BF01448415|jfm=37.0444.01|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/HartogsTheorem.html 하르톡스 확장정리 : 플래닛매스] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120330060859/http://planetmath.org/encyclopedia/HartogsTheorem.html}}
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10238 하르톡스 확장정리의 증명 : 플래닛매스]
* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10242 일변수에서 하르톡스 확장정리의 불성립 : 플래닛매스]

[[분류:해석학 정리]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:다변수 복소함수론]]