하르톡스 수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[집합론]]에서 '''하르톡스 수'''(Hartogs數, {{llang|en|Hartogs number}})는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 [[순서수]]이다.<ref name="최창선">{{서적 인용|저자=최창선|제목=수학, 철학, 전산학, 언어학도를 위한 집합론 입문|출판사=경문사|날짜=2006|isbn=89-7282-777-0|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4599|언어=ko|access-date=2015-01-05|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129034347/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4599|url-status=}}</ref>{{rp|63}}

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''하르톡스 수''' <math>\operatorname h(X)</math>는 <math>X</math>의 어떤 부분집합과도 크기가 같지 않은 최소의 [[순서수]]이다. 즉, [[단사 함수]] <math>\alpha\to X</math>가 존재하지 않는 [[최소 원소|최소]]의 [[순서수]] <math>\alpha</math>이다.

'''하르톡스 정리'''(Hartogs定理, {{llang|en|Hartogs’ theorem}})에 따르면, 모든 집합은 하르톡스 수를 갖는다. 이 정리는 [[선택 공리]]를 사용하지 않고, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 증명할 수 있다.
{{증명}}
임의의 집합 <math>X</math>가 주어졌을 때, <math>X</math>의 부분 집합 위에 정의된 [[정렬 집합]]들의 [[모임 (집합론)|모임]]
:<math>W=\{(Y,\le)\colon Y\subseteq X,\;{\le}\in\operatorname{WellOrder}(Y)\}</math>
를 생각하자. <math>W\subseteq\mathcal P(X)\times\mathcal P(X\times X)</math>이므로 이 모임은 [[집합]]이다. [[순서수]] <math>\beta</math>의 크기가 <math>|X|</math> 이하일 [[필요충분조건]]은 어떤 <math>(Y,\le)\in W</math>와 [[순서 동형]]인 것이다. 따라서, 모임
:<math>\alpha=\{\beta\in\operatorname{Ord}\colon|\beta|\le|X|\}</math>
역시 집합이다. 이제, <math>\alpha</math>가 <math>X</math>의 하르톡스 수임을 다음과 같이 증명할 수 있다.
* <math>\alpha</math>는 순서수
** <math>\alpha\subseteq\operatorname{Ord}</math>이므로, <math>\alpha</math>가 [[추이적 집합]]임을 보이면 충분하다. 만약 <math>\beta\in\alpha</math>이며 <math>\gamma\in\beta</math>라면, [[단사 함수]] <math>f\colon\beta\to X</math>가 존재하는데, 이를 <math>\gamma</math>로 제한하면 [[단사 함수]] <math>f\restriction\gamma\colon\gamma\to X</math>를 얻는다. 따라서 <math>\gamma\in\alpha</math>이다.
* <math>|\alpha|>|X|</math>
** 순서수의 정의에 따라, (또는 ZF의 [[정칙성 공리]]에 따라,) <math>\alpha\not\in\alpha</math>이다. 즉, <math>|\alpha|\le|X|</math>일 수 없다.
* <math>\alpha</math>의 최소성
** <math>\alpha</math>의 정의에 따라, <math>\alpha</math>보다 작은 순서수들의 크기는 <math>|X|</math> 이하이다. 즉, <math>X</math>의 어떤 부분 집합의 크기와 같다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
하르톡스 수는 [[기수 (수학)|기수]]이다.<ref name="최창선" />{{rp|63}} 즉, 임의의 순서수 <math>\alpha<\operatorname h(X)</math>에 대하여, <math>\alpha</math>와 <math>\operatorname h(X)</math>의 [[집합의 크기|크기]]는 서로 다르다.

== 예 ==
자연수 <math>n</math>에 대하여, <math>\operatorname h(n)=n+1</math>이다.<ref name="최창선" />{{rp|63}}

== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[프리드리히 하르톡스]]가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[알레프 수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Hartogs number}}
* {{플래닛매스|urlname=HartogsNumber|title=Hartogs number}}
* {{proofwiki|id=Definition:Hartogs Number|제목=Definition:Hartogs number}}
* {{proofwiki|id=Existence of Hartogs Number|제목=Existence of Hartogs number}}
* {{proofwiki|id=Hartogs' Lemma (Set Theory)|제목=Hartogs' lemma (set theory)}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]
[[분류:순서수]]