하르톡스의 정리 (복소해석학) 문서 원본 보기

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'''하르톡스의 정리'''({{llang|de|Satz von Hartogs}}, Hartogs' theorem, -定理)는 [[다변수 복소해석학]]의 정리로, [[독일]]의 수학자 [[프리드리히 하르톡스]]의 이름이 붙어 있다. 다변수 복소해석학의 기초적이고 핵심적인 정리들 중 하나로, [[실해석학]]에서는 성립하지 않는 [[복소수|복소 다변수]]만의 특성을 다룬다.

== 공식화 ==
하르톡스의 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* f를 <math>C^n</math> (n≥1) 위에서 C로 가는 복소[[함수]]라 하자. 만약 f가 n개의 모든 변수에 대해 [[해석 함수]]이면, f는 [[연속 함수]]이다.

== 실변수와의 비교 ==
실변수에서는 이러한 성질이 n≥2일 경우 일반적으로 성립하지 않는다. <math>R^2</math>에서 R로 가는 함수 f를 <math>f(x, y) := \frac{xy}{x^2+y^2}</math> 와 같이 정의하면, (0, 0)에서 x, y 모두 [[편미분|편도함수]]가 존재하나, 이 함수는 (0, 0)에서 x = y 및 x = -y의 두 경로에 대해 서로 다른 [[극한]]을 가져 극한이 존재하지 않으므로 여기서 불연속이기 때문이다.

그러나 실 다변수함수의 경우에도 [[미분]]가능하면, 즉 그 함수의 [[전미분]]인 [[선형 함수]]가 존재하면 연속이 된다. 또한 실수 다변수함수가 미분가능할 유용한 [[충분조건]]으로 그 함수의 모든 1계 편도함수가 존재하고 각각 연속이라는 것이 있다. 따라서, 모든 1계 [[편도함수]]가 존재하고 연속인 실수 다변수함수는 연속함수이다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|288–293}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:다변수 복소함수론]]