하르나크의 원리 문서 원본 보기

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'''하르나크의 원리'''(Harnack's principle, -原理)는 [[복소해석학]] 및 [[조화해석학]]의 [[정리]]로, [[발트 독일인]] [[수학자]] [[카를 구스타프 악셀 하르나크]](Carl Gustav Axel Harnack)의 이름이 붙어 있다. [[하르나크의 부등식]] 및 [[하이네-보렐 정리]]를 사용하여 쉽게 증명할 수 있다.

== 공식화 ==
{u<sub>n</sub>(z)}가 [[영역 (수학)|영역]] D에서 정의된 [[복소수|복소]]변수 [[실수|실수값]] [[조화함수]]들의 [[함수열]]이고, D에서 모든 [[자연수]] n에 대하여 <math>u_{n+1}(z) \ge u_n(z)</math>를 만족한다고 하자. 그러면 다음 두 [[명제]]가 성립한다.<ref name="a">고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 376-377쪽.</ref>

# 만일 이 함수열이 D 안의 적어도 한 점에서 [[수렴]]하면, 이 함수열은 D 안의 모든 점에서 수렴한다.
# 또한 이럴 경우 이 함수열은 D의 임의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[부분집합]]에서 [[균등수렴]]하며 그 [[극한]]함수는 D에서 조화함수이다.

덧붙여, 이 정리의 두 번째 명제를 증명하기 위해서는 다음의 [[보조정리]]를 도입해야 한다.<ref name="a"/>

* {u<sub>n</sub>(z)}가 [[영역 (수학)|영역]] D에서 정의된 복소 변수 실수값 [[조화 함수]]들의 함수열이라 하자. 만약, 이 함수열이 D의 모든 콤팩트 부분집합에서 u(z)로 균등수렴한다면, u(z)는 D에서 조화함수이다.

== 같이 보기 ==
* [[하르나크의 부등식]]
* [[하이네-보렐 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|저자=고석구|제목=복소해석학개론|출판사=경문사|날짜=2005}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:조화해석학]]
[[분류:조화 함수]]