하루키 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서, '''하루키 정리'''({{llang|en|Haruki's theorem}})는 서로 두 점에서 만나는 세 [[원 (기하학)|원]]의 성질을 다루는 정리이다. [[체바 정리]]와 유사한 등식을 결론으로 한다.

== 정의 ==
세 [[원 (기하학)|원]]의 각 쌍이 서로 다른 두 점에서 만난다고 하자. 첫째 원 외부에 위치하는 둘째 원과 셋째 원의 교점을 <math>A</math>라고 하고, 남은 교점을 <math>D</math>라고 하자. 마찬가지로 둘째 원 외부에 위치하는 셋째·첫째 원의 교점을 <math>B</math>, 남은 교점을 <math>E</math>라고 하고, 셋째 원 외부에 위치하는 첫째·둘째 원의 교점을 <math>C</math>, 남은 교점을 <math>F</math>라고 하자. '''하루키 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|144, §12.4}}
:<math>\frac{AF}{BF}\cdot\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}=1</math>
즉, <math>AF=a</math>, <math>BF=b</math>, <math>BD=c</math>, <math>CD=d</math>, <math>CE=e</math>, <math>AE=f</math>라고 정의할 경우
:<math>\frac ab\cdot\frac cd\cdot\frac ef=1</math>
이 성립한다.

== 증명 ==
직선 <math>AD</math>, <math>BE</math>, <math>CF</math>는 각각 세 원의 각 쌍의 [[근축]]이므로, [[근축#근심|근심]] <math>R</math>에서 만난다.<ref name="Honsberger" />{{rp|145-146, §14.4}} 같은 원 속 같은 호의 [[원주각]]의 크기가 같다는 성질과 [[맞꼭지각]]의 크기가 같다는 성질을 이용하면, 삼각형 <math>AER</math>와 <math>BDR</math>, 삼각형 <math>BFR</math>와 <math>CER</math>, 삼각형 <math>CDR</math>와 <math>AFR</math>는 서로 [[닮음 (기하학)|닮음]]임을 알 수 있다. 따라서
:<math>\frac{AE}{BD}=\frac{ER}{DR},\;\frac{BF}{CE}=\frac{FR}{ER},\;\frac{CD}{AF}=\frac{DR}{FR}</math>
이며,
:<math>\begin{align}
\frac{AF}{BF}\cdot\frac{BD}{CD}\cdot\frac{CE}{AE}
&=\frac{BD}{AE}\cdot\frac{CE}{BF}\cdot\frac{AF}{CD}\\
&=\frac{DR}{ER}\cdot\frac{ER}{FR}\cdot\frac{FR}{DR}\\
&=1
\end{align}</math>
이다.

== 역사 ==
[[워털루 대학교]]의 히로시 하루키 교수가 제시하였다.<ref name="Honsberger" />{{rp|144, §14.4}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=HarukisTheorem|title=Haruki's theorem}}
* {{웹 인용
|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/HarukiTheorem.shtml
|성=Bogomolny
|이름=Alexander
|제목=Haruki's theorem
|언어=en
|웹사이트=Cut The Knot
|확인날짜=2019-08-11
}}

[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:평면기하학 정리]]