하나니-위튼 전이 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
[[끈 이론]]에서 '''하나니-위튼 전이'''({{llang|en|Hanany–Witten transition}})는 [[NS5-막]]과 [[D5-막]]이 서로를 통과할 때, 그 사이를 잇는 [[D3-막]]이 생기거나 소멸되는 현상이다.

== 전개 ==
<math>\mathbb R^{1,2}\times M_7</math> 꼴의 [[시공간]] 위의 IIB [[초끈 이론]]을 생각하자. 여기서 <math>M_7</math>은 7차원 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[매끄러운 다양체]]이다. 이 시공간에서 [[D5-막]]들이 <math>M_7</math>의 3차원 순환(cycle) <math>Y_\text{D}</math>를 감고, [[NS5-막]]들이 <math>M_7</math>의 3차원 순환 <math>Y_\text{NS}</math>를 감는다고 하자. 또한, 이 순환들의 [[호몰로지류]]가 자명하다고 하자. NS5-막은 [[캘브-라몽 장]] <math>B_2</math>의 장세기
:<math>H_\text{NS}/2\pi\in\Omega^3(M_7)</math>
를 가지고, D5-막은 [[라몽-라몽 장]] <math>C_2</math>의 장세기
:<math>H_\text{D}/2\pi\in\Omega^3(M_7)</math>
를 정의한다. 선속 양자화에 따라, 이들의 [[드람 코호몰로지]]류는 정수 코호몰로지에 속하며 (<math>[H_\text{NS}/2\pi],[H_\text{D}/2\pi]\in H^3(M_7;\mathbb Z)</math>), 막 [[세계부피]]의 [[푸앵카레 쌍대]]에 의해 주어진다.
:<math>Y_\text{NS}=\partial([M_7]\frown H_\text{NS}/2\pi)</math>
:<math>Y_\text{D}=\partial([M_7]\frown H_\text{D}/2\pi)</math>
그렇다면 이들 순환 사이에는 [[연환수]] <math>L(Y_\text{NS},Y_\text{D})</math>를 정의할 수 있다.
:<math>L(Y_\text{NS},Y_\text{D})=Y_\text{D}\frown H_\text{NS}/2\pi=-Y_\text{NS}\frown H_\text{D}/2\pi\in\mathbb Z</math>

D5-막 위에서는 아벨 게이지 장세기 <math>F</math>가 존재한다. 이에 따라,
:<math>\Lambda=B_2- F</math>
는 게이지 불변이다. 즉, 이는 대역적(global)으로 정의되는 닫힌 형식이다. (반면, <math>B_2</math>와 <math>F</math>는 각각 대역적으로 정의되지 못할 수 있다.) 이에 따라서
:<math>H_\text{NS}=d\Lambda+dF</math>
이다. 즉, 두 5-막의 [[연환수]]는
:<math>L(Y_\text{NS},Y_\text{D})=Y_\text{D}\frown H_\text{NS}/2\pi=Y_\text{D}\frown dF/2\pi</math>
이다. ([[부분적분]]에 의해 <math>Y_\text{D}\frown d\Lambda=0</math>이다.) 두 5-막이 서로를 지나치게 되면, 그 [[연환수]]가 ±1로 바뀌게 된다. 이에 따라 5-막의 교차 과정에서 D5-막 위에 <math>F</math>에 대한 [[자기 홀극]]이 생기게 된다. 즉, 원래 <math>F=0</math>이라면, 교차 뒤에는 어떤 한 점 <math>p\in M_7</math>에서 자기 홀극에 대한 [[맥스웰 방정식]]
:<math>dF=2\pi\delta^{(3)}(p)</math>
이 만족되게 된다. D5-막 위의 자기 홀극은 2-막이며, 이는 D5-막에 붙어 있는 [[D3-막]]으로 해석할 수 있다. D3-막은 <math>M_7</math>에서 1차원 사슬 (즉, [[곡선]])이다. D-막의 양끝은 다른 막이어야 하고, 한쪽 끝은 이미 D5-막에 붙어 있으므로 반대쪽 끝은 NS5-막에 붙어 있어야 한다. (만약 둘 다 D5-막에 붙어 있다면, 총 자기 홀극 자하가 0이 돼 연환수가 바뀌지 않는다.) 따라서 D5-막과 NS5-막이 교차하는 과정에서, 그 사이를 잇는 D3-막이 생성되거나 소멸됨을 알 수 있다.

만약 <math>M_7</math>이 콤팩트하지 않더라도, 외부에서 관찰한 <math>H_3</math> 자하가 일정해야 하므로 마찬가지로 하나니-위튼 전이가 발생한다.

=== M이론에서의 하나니-위튼 전이 ===
[[M이론]]에서도 마찬가지 현상이 존재한다. 이 경우, 두 개의 M5-막이 교차하는 과정에서 M2-막이 생성되게 된다. 이는 마찬가지로 <math>\mathbb R^{1,1}\times M_9</math> 꼴의 [[시공간]]을 고려하여 유도할 수 있다. 두 M5-막은 <math>M_9</math>에서 각각 4차원 순환을 정의하고, 이들 사이의 연환수를 보존하기 위해서는 M5-막 위의 자기 홀극 끈, 즉 M2-막이 생성되거나 소멸되어야 한다. M-이론 하나니-위튼 전이를 [[축소화]]하면 IIB 끈 이론 하나니-위튼 전이를 얻으므로, 이는 근본적으로 같은 물리 현상이다.

== 역사 ==
아미하이 하나니({{llang|he|עמיחי חנני}})와 [[에드워드 위튼]]이 1996년 3차원 <math>\mathcal N=4</math> [[초대칭 게이지 이론]]의 [[거울 대칭]]을 연구하는 도중 발견하였다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9611230|bibcode=1997NuPhB.492..152H|제목=Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics|이름=Amihay|성=Hanany|공저자=[[에드워드 위튼|Edward Witten]]|날짜=1997-05-12|저널=Nuclear Physics B|권=492|호=1–2|쪽=152–190|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:끈 이론]]