핀슬러 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''핀슬러 다양체'''({{llang|en|Finsler manifold}})는 [[리만 다양체]]의 일반화이다. 각 [[접공간]] 위에 [[양의 정부호]] [[대칭 쌍선형 형식]]이 주어진 [[리만 다양체]]와 달리, 대신 (일반화) [[노름]]이 주어진다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[접다발]] <math>TM</math> 위의 '''핀슬러 함수'''({{llang|en|Finsler function}})는 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]
:<math>F\colon TM\to[0,\infty)</math>
이다.
* <math>F</math>는 <math>TM\setminus M</math> 위에서 [[매끄러운 함수]]이다.
* <math>(x,v)\in TM</math>에 대하여, 만약 <math>v=0</math>이라면 <math>F(x,v)=0</math>이며, <math>v\ne0</math>이라면 <math>F(x,v)>0</math>이다.
* ([[동차함수|동차성]]) 임의의 <math>\lambda\in\mathbb R^+</math> 및 <math>x\in M</math> 및 <math>v\in T_xM</math>에 대하여, <math>\lambda F(x,v)=F(x,\lambda v)</math>
* (준가법성) 임의의 <math>x\in M</math> 및 <math>u,v\in T_xM</math>에 대하여, <math>F(x,u+v)\le F(x,u)+F(x,v)</math>
핀슬러 함수를 갖춘 [[매끄러운 다양체]] <math>(M,F)</math>를 '''핀슬러 다양체'''라고 한다.

만약 핀슬러 다양체 <math>(M,F)</math>에 대하여, 임의의 <math>(x,v)\in TM</math>에 대하여 <math>F(x,v)=F(x,-v)</math>라면 이를 '''가역 핀슬러 다양체'''({{llang|en|reversible Finsler manifold}})라고 한다. 가역 핀슬러 함수는 다양체의 각 [[접공간]] 위에 [[노름]]을 정의한다.

=== 거리와 측지선 ===
핀슬러 다양체 <math>(M,F)</math> 위의 매끄러운 곡선 <math>\gamma\colon[a,b]\to M</math>의 '''길이'''({{llang|en|length}})는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{length}[\gamma]=\int_a^bF(\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt</math>
곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 [[미분 동형]] <math>s\colon[a,b]\to[a',b']</math>에 대하여, <math>\operatorname{length}[\gamma\circ s]=\operatorname{length}[\gamma]</math>이다.

임의의 두 점 <math>x,y\in M</math> 사이의 '''거리'''({{llang|en|distance}}) <math>\operatorname{dist}(x,y)</math>는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 [[하한]]이다.
:<math>\operatorname{dist}(x,y)=\inf_{\gamma\colon[0,1]\to M}^{\gamma(0)=x,\;\gamma(1)=y}L(\gamma)</math>
그렇다면, <math>(M,\operatorname{dist})</math>는 [[길이 거리 공간]]을 이룬다. 따라서, [[측지선]]의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 다음과 같은 에너지 [[범함수]]에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]을 만족시킨다.
:<math>E[\gamma]=\frac12\int_a^b\left(F(\gamma(t),\dot\gamma(t))\right)^2\,dt</math>

=== 기본 텐서 ===
핀슬러 다양체 <math>(M,F)</math>가 주어졌을 때, <math>\tfrac12F^2</math>의 [[접공간]] 방향의 [[헤세 행렬]]은 <math>TM\setminus M</math> 위에 다음과 같은 대칭 (0,2)-텐서 <math>g</math>를 이루며, 이를 '''기본 텐서'''({{llang|en|fundamental tensor}})라고 한다.
:<math>(g|_{x,v})_{ij}=\frac12\frac{}{\partial v^i\partial v^j}F^2\qquad\forall(x,v)\in TM</math>
이는 [[접공간]] 방향에서 무게 0으로 동차이므로, 이는 사실 사영 접다발
:<math>PTM=\frac{TM\setminus M}{(x,v)\sim(x,\lambda v)\;\forall \lambda\in\mathbb R^+}</math>
위에 정의된다. 반대로, 동차 함수에 대한 오일러 정리에 따라서
:<math>F(x,v)^2=\sum_{ij}g_{ij}(x,v)v^iv^j</math>
가 된다. 즉, 기본 텐서로부터 핀슬러 구조 전체를 재구성할 수 있다.

기본 형식이 <math>TM</math> 위에서 [[양의 정부호]]라면, <math>(M,F)</math>를 '''강하게 볼록 핀슬러 다양체'''({{llang|en|strongly convex Finsler manifold}})라고 한다. 일부 문헌에서는 핀슬러 다양체의 정의에 강한 볼록성 조건을 추가하기도 한다.

=== 힐베르트 형식 ===
핀슬러 다양체 <math>(M,F)</math>의 사영 접다발 <math>PTM</math> 위에 다음과 같은 '''힐베르트 형식'''({{llang|en|Hilbert form}})이라는 [[1차 미분 형식]]을 정의할 수 있다.
:<math>\omega=\sum_i\frac{\partial F(x,v)}{\partial v^i}dx^i</math>
<math>\omega</math>의 [[외미분]] <math>d\omega</math>는 일종의 [[에레스만 접속]]을 정의한다.

== 예 ==
모든 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>는 다음과 같은 핀슬러 함수로 자연스럽게 핀슬러 다양체를 이룬다.
:<math>F(x,v)=g|_x(v,v)\qquad\forall(x,v)\in TM</math>
반대로, [[리만 계량]]을 핀슬러 함수로부터 재구성할 수 있다. 따라서, 핀슬러 다양체는 리만 다양체의 개념의 일반화이다.

=== 란데르스 다양체 ===
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위에 [[1차 미분 형식]] <math>b\in\Omega^1M</math>이 주어졌으며, 또한
:<math>g^{-1}(b,b)|_x\le1\qquad\forall x\in M</math>
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함수는 핀슬러 함수를 이룬다.
:<math>F\colon (x,v)\mapsto\sqrt{g^{-1}(b,b)}|_x+b(v)</math>
이러한 꼴의 핀슬러 다양체를 '''란데르스 다양체'''({{llang|en|Randers manifold}})라고 한다. 이는 [[노르웨이]]의 군나르 란데르스({{llang|no|Gunnar Randers}})가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=Gunnar |last=Randers |year=1941 |title=On an Asymmetrical Metric in the Four-Space of General Relativity |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1941-01-15_59_2/page/n77 |journal=Physical Review |volume=59 |issue=2 |pages=195–199 |doi=10.1103/PhysRev.59.195|언어=en }}</ref>

=== 복소다양체 위의 계량 ===
[[복소다양체]] 위의 [[카라테오도리 계량]]과 [[고바야시 계량]]은 (만약 매끄럽다면) 핀슬러 계량을 이룬다.

== 역사 ==
독일의 수학자 파울 핀슬러({{llang|de|Paul Finsler}}, 1894~1970)가 1918년 박사 학위 논문에서 연구하였다.<ref>{{서적 인용 | last1=Finsler | first1=Paul | title=Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen | publisher=O. Füssli | 기타=[[괴팅겐 대학교]] 박사 학위 논문 (지도 교수 [[콘스탄티노스 카라테오도리]]) | jfm=46.1131.02 | year=1918}}</ref> 이후 1933년에 [[엘리 카르탕]]이 "핀슬러 공간"({{llang|fr|espace de Finsler}})이라는 용어를 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Cartan | first1=Élie | author1-link=엘리 카르탕 | title=Sur les espaces de Finsler | zbl=0006.22501 | year=1933 | journal=Comptes Rendus de l’Académie des Sciences  | volume=196 | pages=582–586|언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=David|성=Bao|이름2=Shiing-Shen|성2=Chern|저자링크2=천싱선|이름3=Zhongmin|성3=Shen|제목=An introduction to Riemann–Finsler geometry|출판사=Springer|날짜=2000|isbn=0-387-98948-X|doi=10.1007/978-1-4612-1268-3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=200|issn=0072-5285|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Hanno|성= Rund|제목=The differential geometry of Finsler spaces|출판사=Springer|날짜=1959|doi=10.1007/978-3-642-51610-8|총서=Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften|권=101|issn=0072-7830|isbn=978-3-642-51612-2|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Zhongmin |성=Shen|제목=Lectures on Finsler geometry|출판사=World Scientific|날짜=2001|isbn= 978-981-02-4530-6 |doi=10.1142/4619 |언어=en}}
* {{저널 인용|url=http://www.ams.org/notices/199609/chern.pdf|제목=Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction|이름=Shiing-Shen|성=Chern|저자링크=천싱선|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=43|호=9|쪽=959–963|날짜=1996-09|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=A sampler of Riemann–Finsler geometry|총서=Mathematical Sciences Research Institute Publications|이름=David|성=Bao|이름2=Robert L.|성2=Bryant|이름3=Shiing-Shen|성3=Chern|저자링크3=천싱선|이름4=Zhongmin|성4=Shen|isbn=978-052116873-1|날짜=2010-09|url=http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/sampler-riemann-finsler-geometry|출판사=Cambridge University Press|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Finsler geometry}}
* {{eom|title=Finsler space, generalized}}
* {{매스월드|id=FinslerSpace|title=Finsler space}}
* {{매스월드|id=FinslerMetric|title=Finsler metric}}
* {{매스월드|id=HodgesTheorem|title=Hodge's theorem}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.iupui.edu/~zshen/Finsler/|제목=Home page of Finsler geometry|이름=Z.|성=Shen|언어=en|확인날짜=2015-12-25|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303171934/http://www.math.iupui.edu/~zshen/Finsler/|url-status=}}
* {{웹 인용|url=http://finsler.blogspot.com|제목=The (new) Finsler geometry newsletter|이름=Juan-Carlos|성=Alvarez-Paiva|이름2=Gautier|성2= Berck|이름3=Constantin |성3=Vernicos|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:매끄러운 다양체]]