픽 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:픽의정리.jpg|오른쪽|섬네일|{{color|green|{{math|''i'' {{=}} 9}}}}, {{color|red|{{math|''b'' {{=}} 13}}}}, {{math|''A'' {{=}}{{color|red|''i''}} + {{sfrac|{{color|green|''b''}}|2}} − 1 {{=}} 14.5}}]]
'''픽의 정리'''({{llang|en|Pick's theorem}})는 격자점 위의 단순 다각형에서 그 내부, 외부의 격자 수와 그 다각형의 넓이 사이의 관계를 설명하는 정리로, 이 정리는 오스트리아의 게오르그 픽(Georg Alexander Pick)에 의해 1899년에 만들어졌다. 모든 꼭짓점이 격자점 위에 존재하는 단순 다각형의 넓이를 {{math|''A''}}, 격자 다각형의 내부에 있는 점의 수를 {{math|''i''}}, 변 위에 있는 점의 수를 {{math|''b''}}라고 하면, 이들 사이에 다음의 식이 성립한다는 것이 알려져 있다.
이 내용이 "픽의 정리"이다.<ref>Grünbaum & Shephard, 1993 [http://dl.acm.org/citatin.cfm?id=153311 Pick's theorem]{{깨진 링크|url=http://dl.acm.org/citatin.cfm?id=153311 }}</ref>

:<math>A = i + \frac{b}{2} - 1</math>

오른쪽 그림에서는 {{math|''i''}}의 값은 9이고 {{math|''b''}}의 값은 13이다. 픽의 정리를 사용하면 이 다각형의 넓이는 14.5임을 알 수 있다.

== 증명 ==
[[파일:기본삼각형.jpg|섬네일|오른쪽|100픽셀|기본 삼각형들로 분할된 다각형]]
이 증명을 위해서는 두 개의 [[보조정리]]가 필요하다.
*격자점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 중에서 {{math|''i''}}=0, {{math|''b''}}=3인 경우 그 넓이는 항상 <math>1/2</math>이다. 이것을 기본 삼각형이라고 부른다.
*격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형을 기본 삼각형으로 분할할 수 있다.

격자점을 꼭짓점으로 하는 다각형 <math>P</math>를 <math>N</math>개의 기본 삼각형으로 나눈다. 증명전략은 <math>N</math>개의 기본삼각형의 내각의 합을 서로 다른 방법으로 구하여, 연립하는 것이다.

여기에서 모든 기본 삼각형들의 내각의 합 <math>S</math>를 나타내는 방법은 두 가지이다.

첫째로 삼각형의 내각의 합은 <math>\pi</math>이므로 <math>S=N\pi</math>로 나타낼 수 있다.

둘째로는 각 점에서 생기는 각의 크기를 모두 더하는 방법이 있다.

<math>P</math> 내부의 점 <math>i</math>에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 <math>2\pi</math>이고, 따라서 모든 점 <math>i</math>에서 만들어지는 각들의 합은 <math>2i\pi</math>이다.

또, 꼭짓점이 아닌 변 위의 점 <math>b</math>에서 만나는 기본 삼각형들의 각의 크기의 합은 <math>\pi</math>이다.  <math>P</math> 가 <math>k</math>각형이라고 했을 때, 모든 점 <math>b</math>에서 만들어지는 각들의 합은 <math>(b-k)\pi</math>이다.

마지막으로, <math>P</math>의 내각의 크기의 합은 <math>(k-2)\pi</math>이다.

<math>S=2i\pi+(b-k)\pi+(k-2)\pi</math>이므로, 정리하면 모든 기본 삼각형의 내각의 합은 <math>S=2i\pi+b\pi-2\pi</math>라고 나타낼 수 있다.

<math>S=N\pi</math>와 <math>S=2i\pi+b\pi-2\pi</math>를 연립하면 다음과 같다.

:<math>N\pi=2i\pi+b\pi-2\pi</math>

여기서 양변을 <math>\pi</math>로 나누면

:<math>N=2i+b-2</math>가 된다.

두 번째 보조정리에서 격자점을 꼭짓점으로 하는 모든 다각형은 기본 삼각형으로 분할할 수 있다고 했으므로 <math>A=\frac{1}{2}N</math>이 유도된다. 따라서

:<math>A=\frac{1}{2}N=\frac{1}{2}(2i+b-2)=i+\frac{b}{2}-1</math>

이므로 픽의 정리가 성립함을 알 수 있다.<ref>Raman&Ohman, [http://umu.diva-portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A376056&dswid=-9206|Two beautiful proofs of Pick's theorem]</ref>

== 오일러 지표와의 관계 ==
픽의 정리는 [[오일러 지표]]로부터 유도될 수 있다. 이 관계를 알기 위해서는 "edge theorem"이라는 [[보조 정리]]가 필요하다.
[[파일:Edge theorem.png|섬네일|{{color|green|{{math|''i'' {{=}} 3}}}}, {{color|red|{{math|''b'' {{=}} 4}}}}, {{math|''e'' {{=}}3{{color|green|''i''}} + 2{{color|red|''b''}} − 3 {{=}} 14}}]]
"edge theorem"에 의하면 임의의 다각형에서 내부와 경계선 위의 점들을 연결하여 기본 삼각형들로 분할했을 때 생기는 변의 개수를 <math>e</math>, 내부에 있는 점의 수를 <math>i</math>, 변 위에 있는 점의 수를 <math>b</math>라고 할 때 다음이 성립한다.

<math>e=3i+2b-3</math>

<math>b</math>=3이고  <math>i</math>=0이면 삼각형이 만들어지면서 <math>e</math>의 값은 언제나 3이고 위 등식을 만족한다. 이 삼각형 내부에 점을 한 개 추가하면(<math>i</math>=1) 모서리의 수는 3만큼 늘어난다(<math>e</math>=6). 이 경우 역시 위 등식을 만족한다. 변 위에 있는 점을 한 개 추가하는 상황에서  <math>x</math>개의  변 위에 있는 점들이 내부에 있는 점으로 바뀐다고 하면, <math>e</math>값은 (<math>x</math>+2)개 증가, <math>b</math>값은 (<math>x</math>-1)개 감소한다. 이 내용을 위 등식에 대입하면 마찬가지로 등식을 만족하게 된다. 따라서 <math>i</math>값과 <math>b</math>값에 변동이 있어도 위 등식은 항상 성립함을 알 수 있다.

[[오일러 지표]]에 의하면  [[평면 그래프]]에서 <math>v</math>가 [[꼭짓점]]의 개수이고, <math>e</math>가 모서리의 개수이고, <math>f</math>가 모서리들로 나누어진 면의 개수일 때 다음이 성립한다.

<math>v-e+f=2</math>

이 등식을 이용하기 위해 꼭짓점이 격자점 위에 있는 격자다각형을 기본 삼각형들로 분할하고, 그 도형을 평면 그래프라고 생각한다. 그러면 삼각형 내부의 점과 변 위의 점을 합한 것이 <math>v</math>의 값이므로 <math>v=i+b</math>이고, 'edge theorem'에 의해 <math>e=3i+2b-3</math>임을 알 수 있다. 이것을 위 등식에 대입하면

:<math>i+b-3i-2b+3+f=2</math>

:<math>f=2i+b-1</math>

마지막으로 면의 수 <math>f</math>의 경우, [[평면 그래프]]의 관점에서는 넓이가 무한한 면 한 개가 포함되어 있기 때문에 실제 면의 수는 기본 삼각형들의 수보다 하나 더 많다. 따라서 주어진 다각형을 분할하는 기본 삼각형의 수는 <math>(f-1)</math>이고, 각 기본 삼각형의 넓이는 <math>\frac{1}{2}</math>이므로 주어진 다각형의 넓이는 <math>A=\frac{1}{2}(f-1)</math>가 된다. 이 식을 앞에서 구한 식과 연립하면 다음과 같이 픽의 정리가 유도된다.<ref>W. W. Funkenbusch, The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6 (Jun. - Jul., 1974), pp. 647-648</ref>

:<math>\frac{1}{2}(f-1)=A=\frac{1}{2}(2i+b-2)</math>

:<math>A =i+ \frac{b}{2}-1</math>

== 각주 ==
{{각주}}
{{전거 통제}}
{{토막글|수학}}

[[분류:디지털 기하학]]
[[분류:격자점]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]
[[분류:넓이]]
[[분류:다각형에 대한 정리]]
[[분류:해석기하학]]