피토 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Tangentenabschnitte.svg|오른쪽|섬네일|<math>|PA| = |PB|</math>]]
[[파일:Pitot_theorem.svg|오른쪽|섬네일| <math>\begin{align}&|AB| + |CD|\\ =&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC| + |DA| \end{align}</math><ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=Dm8vDwAAQBAJ&pg=PA51|제목=Geometrical Kaleidoscope|성=Pritsker|이름=Boris|날짜=2017-09-13|출판사=Courier Dover Publications|언어=en|isbn=978-0-486-81241-0}}</ref>]]
'''피토 정리'''({{Llang|en|Pitot theorem}})는 [[외접 사각형]]에서 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 동일하다는 [[기하학]]의 [[정리]]이다.

이는 1725년, [[피토 튜브]]을 발명한 [[프랑스]]의 공학자 앙리 피토에 의해 증명되었다.

== 증명 ==
[[외접 사각형]] <math display="inline">\Box ABCD</math> 에 대해, 변 <math display="inline">AB,\ BC,\ CD,\ DA</math> 와 [[내접원]]의 접점을 각각 <math display="inline">P, Q, R, S</math> 라 하면 [[접선]]의 성질에 의해:<math display="block">\begin{cases} AS=AP \\ BP=BQ \\ CQ=CR \\ DR=DS \end{cases}</math>따라서 사각형의 [[반둘레]] <math display="inline">s</math> 에 대해 다음을 쉽게 보일 수 있다.<math display="block">\begin{array}{lcl} & AB+CD=(AP+PB)+(CR+DR)
\\ & BC+DA=(BQ+CQ)+(DS+AS)
\\ \Longrightarrow & AB+CD=BC+DA=s
\end{array}</math>

== 역 ==
이 정리의 [[역 (논리학)|역]]도 성립한다. 즉, 마주보는 두 쌍의 변의 길이 합이 같은 [[볼록 다각형|볼록 사각형]]에 대해 항상 내접원이 존재한다. 이는 1846년 [[스위스]]의 수학자 [[야코프 슈타이너]]에 의해 증명되었다.

== 일반화 ==
피토 정리는 원에 외접하는 <math display="inline">2n</math>각형에도 적용 될 수 있으며, 이때 각 변의 길이를 시계방향 순으로 <math display="inline">x_1,\ x_2,\ x_3,\ldots\ x_{2n}</math> 이라 하면 다음이 성립한다.<math display="block">x_1 + x_3 + x_5 + \ldots + x_{2n-1} = x_2 + x_4 + x_6+ \ldots +x_{2n}</math>즉, 홀수번째 변들의 길이 합이 짝수번째 변들의 길이 합과 같다는 것이다.<ref>{{인용|first=Martin|last=Josefsson|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf|title=More characterizations of tangential quadrilaterals|journal=Forum Geometricorum|volume=11|year=2011|pages=65–82|mr=2877281|access-date=2023-03-25|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022959/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf|url-status=}}.</ref>

== 참조 ==
<references />

[[분류:사각형과 원에 대한 정리]]