피타고라스 체 문서 원본 보기

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[[체론]]에서, '''피타고라스 체'''(Πυθαγόρας體, {{llang|en|Pythagorean field}})는 제곱수들의 합이 제곱수인 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>의 원소 가운데 일부는 유한 개의 [[제곱수]]들의 합으로 나타낼 수 있고, 일부는 유한 개의 [[제곱수]]들의 합으로 나타낼 수 없다. <math>a\in K</math>를 제곱수들의 합으로 나타낼 때 필요한 최소 개의 제곱수의 수를 <math>P(a)</math>라고 쓰자.
:<math>p(a)=\min_{A\subseteq K}^{\sum_{b\in A}b^2=b}|A|\in\mathbb N\cup\{\infty\}</math>

체 <math>K</math>의 '''피타고라스 수'''(Πυθαγόρας數, {{llang|en|Pythagorean number}}) <math>p(K)</math>는 <math>K</math>의 원소에 대하여, 위 함수의 [[최댓값]]이다.
:<math>p(K)=\max_{a\in K}p(a)\in\mathbb N\cup\{\infty\}</math>
즉, 피타고라스 수가 유한한 체 <math>K</math>에서, 모든 제곱수의 합은 <math>p(K)</math>개 이하의 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다.

피타고라스 수가 1인 체를 '''피타고라스 체'''(Πυθαγόρας體, {{llang|en|Pythagorean field}})라고 한다. 즉, 피타고라스 체는 제곱수들의 집합이 덧셈에 대하여 [[모노이드]]를 이루는 체이다. 즉, 다음 조건이 성립하면 <math>K</math>를 피타고라스 체라고 한다.
:<math>\forall a,b\in K\exists c\in K\colon a^2+b^2=c^2</math>
기하학적으로, 이는 [[피타고라스의 정리]]와 유사하다. 즉,  만약 <math>K\subseteq\mathbb R</math>라면, [[직각 삼각형]]에서 사이에 직각이 있는 두 변의 길이가 <math>K</math>에 속한다면, 나머지 변도 <math>K</math>에 속해야 한다.

체 <math>K</math>의 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\bar K</math> 속에, <math>K</math>를 포함하는 최소의 피타고라스 체 <math>K^{\operatorname{py}}</math>가 존재한다. 이를 <math>K</math>의 '''피타고라스 폐포'''(Πυθαγόρας閉包, {{llang|en|Pythagorean closure}})라고 한다.

== 성질 ==
임의의 체 <math>K</math>에 대하여, 피타고라스 수와 [[형식적 실체|수준]] <math>s(K)</math> 사이에 다음과 같은 부등식이 성립한다.<ref>{{서적 인용| title=Squares | volume=171 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | first=A. R. | last=Rajwade | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=0-521-42668-5 | zbl=0785.11022 | 언어=en }}</ref>{{rp|261}}
:<math>p(K)\le s(K)+1</math>

모든 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, 피타고라스 수가 <math>n</math>인 [[형식적 실체]]가 존재한다.<ref name="Lam">{{서적 인용| title=Introduction to quadratic forms over fields | volume=67 | series=Graduate Studies in Mathematics | first=Tsit-Yuen | last=Lam | 저자링크=람짓윈 | publisher=American Mathematical Society | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 | mr = 2104929 | 언어=en}}</ref>{{rp|398}}

[[형식적 실체]]가 아닌 체의 경우, 피타고라스 수는 다음 세 가지 가운데 하나이다.<ref name="Lam"/>{{rp|396}}
* <math>\infty</math>
* <math>2^n\qquad n\in\mathbb N</math>
* <math>2^n-1\qquad n\in\mathbb N</math>

== 예 ==
피타고라스 수의 예는 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 체 !! 피타고라스 수
|-
| [[대수적으로 닫힌 체]] <math>\bar K</math> || 1
|-
| [[유한체]] <math>\mathbb F_q</math> || 2
|-
| [[유리수체]] <math>\mathbb Q</math> || 4 ([[라그랑주 네 제곱수 정리]])
|}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pythagorean field}}
* {{매스월드|id=PythagoreanField|title=Pythagorean field}}
* {{매스월드|id=PythagoreanExtension|title=Pythagorean extension}}

[[분류:체론]]