피타고라스 삼조 문서 원본 보기

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[[파일:Pythagorean.svg|섬네일|200px|피타고라스 정리: <math>a^2+b^2=c^2</math>]]

[[수학]]에서 '''피타고라스 삼조'''(Πυθαγόρας三組, {{llang|en|Pythagorean triple}})는 [[피타고라스 정리]]에 등장하는 등식 <math>a^2+b^2=c^2</math>을 만족시키는 세 양의 정수의 [[튜플]] <math>(a,b,c)</math>이다. 즉, [[유클리드 기하학]]의 [[직각 삼각형]]의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 튜플이다. 예를 들어, <math>(3,4,5)</math>는 피타고라스 삼조이다. '''원시 피타고라스 삼조'''(原始Πυθαγόρας三組, {{llang|en|primitive Pythagorean triple}})는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수가 서로소인 경우이다. 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 피타고라스 삼조는 <math>x^2+y^2=1</math>의 양의 유리수 해와 일대일 대응하며, 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다.

== 정의 ==
양의 정수의 삼조 <math>(a,b,c)</math>가 [[디오판토스 방정식]] <math>a^2+b^2=c^2</math>의 해라면, 이를 '''피타고라스 삼조'''라고 한다. [[서로소 정수|서로소]]인 세 정수로 이루어진 피타고라스 삼조를 '''원시 피타고라스 삼조'''라고 한다.

== 성질 ==
만약 <math>(a,b,c)</math>가 피타고라스 삼조라면, <math>(na,nb,nc)</math> 역시 피타고라스 삼조이며, 그 역 또한 성립한다. 이에 따라 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조에 배수를 취하여 생성할 수 있다.

피타고라스 삼조 <math>(a,b,c)</math>는 항상 3의 배수를 포함한다. 이는 [[귀류법]]을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 3의 배수를 포함하지 않는 피타고라스 삼조가 존재한다면, 이는 항상 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(3m\pm 1,3n\pm1,3k\pm 1)</math>
이를 피타고라스 삼조의 정의에 대입하면 다음과 같다.
:<math>(3m\pm 1)^2+(3n\pm 1)^2=(3k\pm 1)^2</math>
이를 정리하면 다음과 같다.
:<math>3(3m^2+3n^2\pm 2m\pm 2n)+2=3(3k^2\pm 2k)+1</math>
양변에 법 3에 대한 합동을 취하면 <math>2\equiv 1\pmod 3</math>이므로 모순이다. 따라서 피타고라스 삼조는 항상 3의 배수를 포함한다.

=== 해 ===
피타고라스 삼조는 (두 직각변의 크기 관계를 무시하면) 항상 <math>(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)</math> (<math>m>n>0</math>) 꼴이다. 이러한 꼴이 원시 피타고라스 삼조일 필요 충분 조건은 <math>m,n</math>이 짝수를 포함하는 서로소 정수인 것이다. 특히, <math>(m^2-1,2m,m^2+1)</math>은 항상 피타고라스 삼조이다.

원시 피타고라스 삼조는 항상 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(3,4,5)M_1^{e_1}M_2^{e_2}\cdots M_n^{e_n}\qquad(M_i\in\{
\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}-1&-2&-2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1&2&2\\-2&-1&-2\\2&2&3\end{pmatrix}\},\;n\in\mathbb Z^+,\;e_i\in\mathbb Z^+\cup\{0\})</math>
즉, 원시 피타고라스 삼조는 세 행렬로 생성되는 [[모노이드 작용]]에 대한 궤도를 이룬다.

== 예 ==
원시 피타고라스 삼조 가운데 <math>c\le 100</math>인 것은 모두 16쌍이 있는데, 아래의 규칙에 따르면 (27, 36, 45)도 존재해 17쌍이다. 그러나 (이미 원시 삼조에 있는) 단위 삼조인 (3, 4, 5)와 정비례하기 때문에, 원시 삼조에서는 제외된다. 이처럼 원시 삼조에서 제외 되는 수는 흐리게 칠했다.

===규칙===
(<math>x, y, z</math>)는 2개의 자연수 m과 n(<math>m>n</math>)을 써서 결정할 수 있다.

<math>x=m^2-n^2, y=2mn, z=m^2+n^2</math>

이 규칙과 아래 표에 따라, 한 직각삼각형에서 짝 지어지는 m과 n은 [[홀수와 짝수]]로서 다르다.

====규칙에 따른 표====
{| class="wikitable" style="font-size: 75%; text-align: right;"
! m+n</br>↓
!…
!15
!13
!11
! 9
! 7
! 5
! 3
! 1
!←(m-n)
|-
! style="text-align: left" | 1
!
!
!
!
!
!
!
!
! (1,0,1)
|-
! style="text-align: left" | 3
!
!
!
!
!
!
!
! (9,0,9)
| (3,4,5)
|-
! style="text-align: left" | 5
!
!
!
!
!
!
! (25,0,25)
| (15,8,17)
| (5,12,13)
|-
! style="text-align: left" | 7
!
!
!
!
!
! (49,0,49)
| (35,12,37)
| (21,20,29)
| (7,24,25)
|-
! style="text-align: left" | 9
!
!
!
!
! (81,0,81)
| (63,16,65)
| (45,28,53)
! (27,36,45)
| (9,40,41)
|-
! style="text-align: left" | 11
!
!
!
! (121,0,121)
| (99,20,101)
| (77,36,85)
| (55,48,73)
| (33,56,65)
| (11,60,61)
|-
! style="text-align: left" | 13
!
!
! (169,0,169)
| (143,24,145)
| (117,44,125)
| (91,60,109)
| (65,72,97)
| (39,80,89)
| (13,84,85)
|-
! style="text-align: left" | 15
!
!…
| (195,28,197)
| (165,52,173)
| (135,72,153)
| (105,88,137)
! (75,100,125)
! (45,108,117)
| (15,112,113)
|-
!…
!…
|…
|…
|…
|…
|…
|…
|…
|…
|}

== 같이 보기 ==
* [[오일러 벽돌]]
* [[모듈러 산술]]
* [[플림톤 322]]
* [[이차 초곡면]]

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=피타고라스 쌍(Pythagorean triple)}}
* {{eom|title=Pythagorean numbers}}
* {{매스월드|id=PythagoreanTriple|title=Pythagorean triple}}
* {{nlab|id=Pythagorean triple}}
* {{플래닛매스|urlname=PythagoreanTriplet|title=Pythagorean triplet}}
* {{플래닛매스|urlname=DerivationOfPythagoreanTriples|title=Derivation of Pythagorean triples}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfPythagoreanTriples|title=Proof of Pythagorean triples}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfPythagoreanTriples1|title=Proof of Pythagorean triples}}
* {{proofwiki|id=Category:Definitions/Pythagorean Triangles|제목=Category:Definitions/Pythagorean triangles}}
* {{proofwiki|id=Category:Pythagorean Triples|제목=Category:Pythagorean triples}}

{{전거 통제}}

[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:디오판토스 방정식]]
[[분류:피타고라스 정리]]
[[분류:사람 이름을 딴 낱말]]