피카르 군 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''피카르 군'''(Picard群, {{llang|en|Picard group}})은 [[환 달린 공간]] 위에 존재하는 [[가역층]]들의 [[군 (수학)|군]]이다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[환 달린 공간]]이라고 하자. 그렇다면 <math>X</math> 위에 존재하는 [[가역층]](가역 [[선다발]])들의 집합을 생각하자. 이 집합에 [[텐서곱]]을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 '''피카르 군''' <math>\operatorname{Pic}(X)</math>이라고 한다. 이는 [[층 코호몰로지]]를 사용하여
:<math>\operatorname{Pic}(X)=H^1(X;\mathcal O^\times_X)</math>
와 같이 정의할 수도 있다.

=== 피카르 스킴 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대한 [[사영 공간]]의 부분 스킴인 [[정역 스킴]]에 대하여, 피카르 군에 <math>K</math>-[[스킴 (수학)|스킴]]의 주조를 줄 수 있는데, 이를 '''피카르 스킴'''({{llang|en|Picard scheme}}) <math>\operatorname{Pic}_{X/K}</math>이라고 한다.<ref>{{서적 인용 | last1=Kleiman | first1=Steven L. | title=Fundamental algebraic geometry | arxiv=math/0504020 | publisher=American Mathematical Society | series=Math. Surveys Monogr. | mr=2223410 | year=2005 | volume=123 | chapter=The Picard scheme | pages=235–321 | 언어=en}}</ref>

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 [[연결 성분]]을 <math>\operatorname{Pic}^0(X)</math>라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>1\to\operatorname{Pic}^0(X)\to\operatorname{Pic}(X)\to \operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)\to1</math>
여기서 [[몫군]] <math>\operatorname{Pic}(X)/\operatorname{Pic}^0(X)</math>을 '''네롱-세베리 군'''({{llang|en|Néron–Severi group}})이라고 하며, <math>\operatorname{NS}(X)</math>로 쓴다. 네롱-세베리 군의 [[계수 (아벨 군)|계수]]를 '''피카르 수'''({{llang|en|Picard number}}) <math>\rho(X)</math>라고 한다. 네롱-세베리 군의 [[꼬임 부분군]] <math>\operatorname{NS_{tors}}(X)</math>의 크기를 '''세베리 수'''({{llang|en|Severi number}})라고 한다.

== 성질 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[완비 대수다양체|완비]] [[비특이 대수다양체]] <math>X</math>의 네롱-세베리 군은 [[유한 생성 아벨 군]]이며, ('''네롱-세베리 정리''' {{llang|en|Néron–Severi theorem}}) 또한 네롱-세베리 군의 [[꼬임 부분군]] <math>\operatorname{NS_{tors}}(X)</math>은 [[쌍유리 동치]]에 대하여 불변이다.

== 예 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 <math>n</math>차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n_K</math>의 경우, 가역층들은 <math>\mathcal O(m)</math> (<math>m\in\mathbb Z</math>)이고, 이들은 <math>\mathcal O(m_1)\otimes\mathcal O(m_2)\cong\mathcal O(m_1+m_2)</math>를 만족한다. 따라서 <math>\mathbb P^n_K</math>의 피카르 군은 무한 [[순환군]] <math>\mathbb Z</math>와 [[동형]]이다.

[[데데킨트 정역]]의 피카르 군은 그 [[아이디얼 유군]]이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 두 개의 <math>\operatorname{Spec}K[x]</math>를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 <math>\operatorname{Spec}K[x]\setminus\operatorname{Spec}K[x]/(x)</math>에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 [[아핀 직선]]을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 [[순환군]] <math>\mathbb Z</math>와 동형이다.

== 역사 ==
피카르 군은 [[에밀 피카르]]의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 [[앙드레 네롱]]과 [[프란체스코 세베리]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Picard group}}
* {{eom|title=Picard variety}}
* {{eom|title=Picard scheme}}
* {{eom|title=Néron-Severi group}}
* {{매스월드|id=PicardGroup|title=Picard group|저자=David Terr}}

== 같이 보기 ==
* [[야코비 다양체]]
* [[알바네세 다양체]]
* [[선다발]]
* [[가역층]]
* [[인자 (대수기하학)]]

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]