피어츠 항등식 문서 원본 보기

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'''피어츠 항등식'''({{lang|en|Fierz identity}})이란 두 [[스피너]] [[쌍선형 형식]]의 곱을 다른 스피너 쌍선형 형식 곱의 [[선형 결합]]으로 나타내는 항등식이다. 스위스의 물리학자 마르쿠스 에두아르트 피어츠({{lang|de|Markus Eduard Fierz}})가 도입하였다. [[양자장론]]에서 스피너로 나타내어지는 [[페르미온]]을 다룰 때 쓴다.

== 디랙 스피너 ==
디랙 스피너의 피어츠 항등식은 다음 표에 의하여 주어진다. 여기서 S, V, T, A, P는 각각 [[스칼라]], [[벡터]], [[텐서]], 축벡터, 유사스칼라를 나타낸다.
:{| class="wikitable"
|-
!
! S
! V
! T
! A
! P
|-
| S × S =
| ¼
| ¼
| −¼
| −¼
| ¼
|-
| V × V =
| 1
| −½
| 0
| −½
| −1
|-
| T × T =
| −1½
| 0
| −½
| 0
| −1½
|-
| A × A =
| -1
| −½
| 0
| −½
| 1
|-
| P × P =
| ¼
| −¼
| −¼
| ¼
| ¼
|-
|}
예를 들어 벡터×벡터 곱의 피어츠 항등식은 다음과 같다.
:<math>
\left(\bar\chi\gamma^\mu\psi\right)\left(\bar\psi\gamma_\mu \chi\right)=
\left(\bar\chi\chi\right)\left(\bar\psi\psi\right)-
\frac12\left(\bar\chi\gamma^\mu\chi\right)\left(\bar\psi\gamma_\mu\psi\right)-
\frac12\left(\bar\chi\gamma^\mu\gamma_5\chi\right)\left(\bar\psi\gamma_\mu\gamma_5\psi\right)
-\left(\bar\chi\gamma^5\chi\right)\left(\bar\psi\gamma_5\psi\right).</math>

== 바일 스피너 ==
[[반가환수|반가환]] 바일 스피너는 다음의 피어츠 항등식을 만족한다.

:<math>\xi(\bar\eta\zeta)+\eta(\bar\zeta\xi)+\zeta(\bar\xi\eta)=0.</math>
:<math>(\psi\sigma^{\mu\nu}\chi)(\psi'\sigma_{\mu\nu}\chi')=-2(\psi\chi')(\chi\psi')-(\psi\chi)(\psi'\chi')</math>
:<math>(\bar\psi\bar\sigma^{\mu\nu}\bar\chi)(\bar\psi'\bar\sigma_{\mu\nu}\bar\chi')=-2(\bar\psi\bar\chi')(\bar\chi\bar\psi')-(\bar\psi\bar\chi)(\bar\psi'\bar\chi')</math>
:<math>(\psi\sigma^{\mu\nu}\chi)(\bar\psi'\bar\sigma_{\mu\nu}\bar\chi')=0</math>.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|이름=H.K.|성=Dreiner|공저자=et al.|날짜=2008|제목=Two-component spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and supersymmetry|arxiv=0812.1594|언어=en}}
* LB Okun ''Leptons and Quarks'' §29.3.4. {{ISBN|978-0-444-86924-1}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:항등식]]
[[분류:스피너]]