피보나치 수의 일반화 문서 원본 보기

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'''[[피보나치 수]]'''는 다양한 형태로 '''일반화'''될 수 있다.

== 비슷한 수열들 ==
=== 뤼카 수 ===
피보나치 수의 일반화인 [[뤼카 수]]는 다음과 같다.

: ''U''(0) = 0
: ''U''(1) = 1
: ''U''(''n'' + 2) = ''PU''(''n'' + 1) &minus; ''QU''(''n'')

피보나치 수열은 ''P'' = 1 이고 ''Q'' = &minus;1인 특수한 경우이다.

=== 트리보나치 수 ===
'''트리보나치<ref>트리ㅡ(tri-)는 "3" 을 뜻하는 그리스어 어근이다.</ref> 수'''는 다음의 점화식으로 정의된다.
:<math>
 T_n :=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{if } n = 0; \\
    0             & \mbox{if } n = 1; \\
    1             & \mbox{if } n = 2; \\
    T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3} & \mbox{if } n > 2. \\
   \end{cases}
 </math>
일반적으로 트리보나치 수는 0, 0, 1로 시작하며, 다음 트리보나치 수는 바로 앞의 세 트리보나치 수의 합이 된다.

n=0, 0, 1로 시작하는 트리보나치 수는<ref>[[OEIS]]의 수열 {{OEIS 링크|A000073}}</ref>
:[[0]], [[0]], [[1]], [[1]], [[2]], [[4]], [[7]], [[13]], [[24]], [[44]], [[81]], [[149]], [[274]], [[504]], [[927]], 1705, 3136, 5768, 10609, ...
이다.

=== 테트라나치 수 ===
'''테트라나치<ref>테트라ㅡ(tetra-)는 "4"를 뜻하는 그리스어 어근이다.</ref> 수'''는 다음의 전개식으로 정의된다.

:<math>
 T_n :=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{if } n = 0; \\
    0             & \mbox{if } n = 1; \\
    0             & \mbox{if } n = 2; \\
    1             & \mbox{if } n = 3; \\
    T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}+T_{n-4} & \mbox{if } n > 3. \\
   \end{cases}
 </math>
일반적으로 테트라나치 수는 0, 0, 0, 1로 시작되며, 다음 테트라나치 수는 바로 앞의 네 테트라나치 수의 합이 된다.

n=0, 0, 0, 1,...로 시작하는 테트라나치 수는<ref>[[OEIS]]의 수열 {{OEIS 링크|A000078}}</ref>
:[[0]], [[0]], [[0]], [[1]], [[1]], [[2]], [[4]], [[8]], [[15]], [[29]], [[56]], [[108]], [[208]], [[401]], [[773]], 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, ...
이다.

=== 펜타나치 수 ===
'''펜타나치 수'''는 [[수학]]에서 아래 [[점화식]]으로 정의되는 수열로, [[피보나치 수]]의 확장이다.
:<math>
 P_n :=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{if } n = 0; \\
    0             & \mbox{if } n = 1; \\
    0             & \mbox{if } n = 2; \\
    0             & \mbox{if } n = 3; \\
    1             & \mbox{if } n = 4; \\
    P_{n-1}+P_{n-2}+P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5} & \mbox{if } n > 4. \\
   \end{cases}
 </math>

=== 헥사나치 수 ===
헥사나치 수(Hexanacci numbers)는 수학에서 다음의 점화식으로 정의되는 수열로, 피보나치 수의 확장이다.
:<math>
T_n :=
\begin{cases}
 0        &\mbox{if } n=0;\\
 0        &\mbox{if } n=1;\\
 0        &\mbox{if } n=2;\\
 0        &\mbox{if } n=3;\\
 0        &\mbox{if } n=4;\\
 1        &\mbox{if } n=5;\\
 T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}+T_{n-4}+T_{n-5}+T_{n-6}&\mbox{if } n>5.
\end{cases}
</math>
헥사나치 수는 0, 0, 0, 0, 0, 1로 시작하며, 다음 헥사나치 수는 바로 앞의 여섯 헥사나치 수의 합이 된다. n=0, 0, 0, 0, 0, 1...로 시작하는 헥사나치 수는 (OEIS의 수열 A001592)
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936...
이다.

=== 그 외의 n-나치 수 ===
이 외에도 펜타나치 수, 헥사나치 수, 헵타나치 수 등이 있다. n-나치 수들의 공통적인 특징은
* <math>n-1</math>개의 0과 1개의 1로 시작한다.
* 다음 수는 바로 앞의 n개의 수의 합이 된다.
또한 <math>n+2</math>번째 수부터 <math>2n</math>번째 수까지는 2의 거듭제곱인 수들이다.

== 각주 ==
<references />

[[분류:피보나치 수]]