플뢰어 호몰로지 문서 원본 보기

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[[심플렉틱 기하학]]에서 '''플뢰어 호몰로지'''({{llang|en|Floer homology}})는 [[심플렉틱 다양체]]에 대하여 정의되는 무한 차원 [[모스 호몰로지]]의 일종이다.

== 정의 ==
[[심플렉틱 다양체]] <math>M</math> 위에, [[매끄러운 함수]]
:<math>H\colon\mathbb S^1\times M\to\mathbb R</math>
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 이를 시간 의존 [[해밀토니언]]으로 해석하여 심플렉틱 벡터장
:<math>\omega(X_t,-)=dH_t\qquad(t\in\mathbb S^1)</math>
을 정의할 수 있다. <math>\mathbb S^1</math>의 둘레가 1이라고 놓으면, <math>X</math>를 <math>[0,1]</math>에서 적분하여 얻는 심플렉틱 사상
:<math>\phi\colon M\to M</math>
을 생각할 수 있다.

[[자유 고리 공간]] <math>\mathcal LM</math>의 [[접다발]] <math>T\mathcal LM</math>을 생각하자. 이 경우,
:<math>(\gamma,v)\in T\mathcal LM</math>
에서 <math>\gamma\colon\mathbb S^1\to M</math>는 [[닫힌 곡선]]이며, <math>v\colon\mathbb S^1\to\gamma^*(TM)</math>는 그 위의 [[벡터장]]이다. <math>T\mathcal LM</math> 위에 다음과 같은 [[범함수]]를 정의하자.
:<math>F\colon\mathcal LM\to\mathbb R</math>
:<math>F\colon\gamma\mapsto-\int_{\mathbb B^2}u^*\omega-\int_{\mathbb S^1}H(t,\gamma(t))\,dt\qquad\forall u\colon\mathbb B^2\to M,\;u|_{\partial\mathbb B^2}=\gamma</math>
이에 따라, <math>F</math>의 [[임계점 (수학)|임계점]]은 <math>\rho</math>의 [[고정점]]과 같다.

'''플뢰어 사슬 복합체''' <math>\operatorname{CF}(M,H)</math>는 [[아벨 군]]으로서, <math>F</math>의 [[임계점 (수학)|임계점]]들로 생성되는 [[자유 아벨 군]]이다.
:<math>\operatorname{Crit}F=\{\gamma\in\mathcal LM\colon F(\gamma)=0\}</math>
:<math>\operatorname{CF}(M,H)=\mathbb Z[\operatorname{Crit}F]</math>
이 위에는 '''콘리-첸더 지표'''({{llang|en|Conley–Zehnder index}})라는 등급이 존재하며, 이는 스펙트럼 흐름에 따른 양의 고윳값의 수이다. 이는 일반적으로 무한하지만, 두 등급의 차 <math>\operatorname{index}(\gamma^-,\gamma^+)</math>는 잘 정의된다. 이 위에 다음과 같은 경계 사상을 주자.
:<math>\partial\colon\operatorname{CH}(M,H)\to\operatorname{CH}(M,H)</math>
:<math>\partial\gamma^-=\sum_{\gamma^+\in\operatorname{Crit}F}^{\operatorname{index}(\gamma^-,\gamma^+)=1}\#\left(\mathcal M(\gamma^-,\gamma^+)/\mathbb R\right)\gamma^+</math>
여기서
* <math>\mathcal M(\gamma^-,\gamma^+)</math>는 <math>F</math>에 대한 기울기 흐름({{llang|en|gradient flow}})의 모듈러스 공간이다. 즉, <math>\gamma^-</math>와 <math>\gamma^+</math>를 잇는 [[유사 정칙 곡면]]의 모듈러스 공간이다.
* <math>\mathcal M(\gamma^-,\gamma^+)</math> 위에는 시간 평행 이동에 따른 자연스러운 <math>\mathbb R</math>-[[군의 작용|작용]]이 존재하며, <math>\mathcal M(\gamma^-,\gamma^+)/\mathbb R</math>는 이에 대한 [[몫공간]]이다.
* <math>\operatorname{index}(\gamma^-,\gamma^+)=1</math>인 경우, <math>\mathcal M(\gamma^-,\gamma^+;A)/\mathbb R</math>는 0차원이며, <math>\#\left(\mathcal M(\gamma^-,\gamma^+;A)/\mathbb R\right)</math>는 이 몫공간의 점의 수이다.
이 경우, <math>\partial^2=0</math>임을 보일 수 있으며, 플뢰어 사슬 복합체의 호몰로지
:<math>\operatorname{HF}(M,H)=\frac{\ker\partial}{\operatorname{im}\partial}</math>
를 '''플뢰어 호몰로지'''라고 한다. 이는 <math>M</math>의 [[특이 호몰로지]]와 일치한다. 즉, 플뢰어 호몰로지는 <math>H</math>에 의존하지 않는다.

위 정의를 약간 변형하여, [[양자 코호몰로지]]와 일치하는 플뢰어 호몰로지를 정의할 수도 있다. 이 경우, 플뢰어 사슬 복합체는 곡선 <math>\gamma</math> 대신 곡선과 상대 호모토피류 <math>[u]\in\pi_2(M,\gamma)</math>의 순서쌍 <math>(\gamma,[u])</math>에 의하여 생성되는 자유 아벨 군이다.

=== 관련 개념 ===
(심플렉틱) 플뢰어 호몰로지를 변형하여, 다음과 같은 다양한 호몰로지 이론들을 얻을 수 있다.
* '''라그랑지언 플뢰어 호몰로지'''({{llang|en|Lagrangian Floer homology}})는 어떤 라그랑지언 부분다양체가 주어진 심플렉틱 다양체에 대하여 정의되는 호몰로지 이론이다. 이는 [[거울 대칭]]에 의하여, 거울짝 다양체의 [[연접층]]의 [[Ext 함자]]와 일치한다.
* 3차원 다양체에 대하여, 다음과 같은 플뢰어 호몰로지들이 존재한다. 이들은 모두 서로 같다고 추측되며, 이는 부분적으로 증명되었다.
** '''순간자 플뢰어 호몰로지'''({{llang|en|instanton Floer homology}})는 [[도널드슨 불변량]]과 관련있다.
** '''자기 홀극 플뢰어 호몰로지'''({{llang|en|monopole Floer homology}})는 [[자이베르그-위튼 불변량]]과 관련있다.
** '''헤고르 플뢰어 호몰로지'''({{llang|en|Heegaard Floer homology}})는 조합론적으로 계산할 수 있는 호몰로지 이론이다.

== 역사 ==
스위스의 수학자 안드레아스 플뢰어({{llang|de|Andreas Floer}}, 1956~1991)가 1988년에 아르놀트 추측을 증명하면서 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=Andreas |last=Floer |title=The unregularized gradient flow of the symplectic action |url=https://archive.org/details/sim_communications-on-pure-and-applied-mathematics_1988-09_41_6/page/n34 |journal=Communications on Pure and Applied Mathematics|volume=41 |issue= 6|year=1988 |pages=775–813 |doi=10.1002/cpa.3160410603 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Floer |first=Andreas |title=An instanton-invariant for 3-manifolds |url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1988-08_118_2/page/n40 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=118 |year=1988 |issue=2 |pages=215–240 |bibcode = 1988CMaPh.118..215F |doi = 10.1007/BF01218578 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Floer |first=Andreas |title=Morse theory for Lagrangian intersections |journal=Journal of Differential Geometry |volume=28 |날짜=1988-11 |호=3 |pages=513–547 |mr=965228 | url = 
http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214442477 | zbl = 0674.57027 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Floer |first=Andreas |title=Cuplength estimates on Lagrangian intersections |journal=Communications on Pure and Applied Mathematics |volume=42 |year=1989 |issue=4 |pages=335–356 |doi=10.1002/cpa.3160420402  |언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용|last=Floer |first=Andreas |title=Symplectic fixed points and holomorphic spheres |url=https://archive.org/details/sim_communications-in-mathematical-physics_1989-02_120_4/page/n48 |journal=Communications in Mathematical Physics |volume=120 |issue=4 |year=1989 |pages=575–611 |bibcode=1988CMaPh.120..575F |doi=10.1007/BF01260388 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Floer |first=Andreas |title=Witten’s complex and infinite dimensional Morse Theory |journal=Journal of Differential Geometry |volume=30 |날짜=1989-07 |issue=1 |pages=207–221 | url = https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214443291 | mr = 1001276 | zbl =  0678.58012 | 언어=en }}</ref> 플뢰어는 곧 1991년에 우울증으로 인하여 34세의 나이로 자살하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
 |이름=Michael|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야
 |날짜=1988
 |장=New invariants of 3- and 4-dimensional manifolds
 |제목=The Mathematical Heritage of Hermann Weyl
 |편집자-이름=R. O.
 |편집자-성=Wells Jr.
 |총서=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
 |volume=48 |pages=285–299
 |doi=10.1090/pspum/048/974342
 |isbn=9780821814826
 |언어=en
}}
* {{서적 인용
 |이름1=Augustin|성1=Banyaga
 |이름2=David|성2=Hurtubise
 |날짜=2004
 |title=Lectures on Morse homology
 |publisher=Kluwer Academic Publishers
 |isbn=1-4020-2695-1
 |언어=en
}}
* {{서적 인용
 |이름1=Simon|성1=Donaldson|저자링크=사이먼 도널드슨
 |이름2=M.|성2=Furuta
 |이름3=D.|성3=Kotschick
 |날짜=2002
 |title=Floer homology groups in Yang-Mills theory
 |series=Cambridge Tracts in Mathematics
 |volume=147
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=0-521-80803-0
 |언어=en
}}
* {{서적 인용
 |이름1=Peter|성1=Kronheimer | 저자링크=피터 크론하이머
 |이름2=Tomasz|성2=Mrowka
 |날짜= 2007
 |title=Monopoles and three-manifolds
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn= 978-0-521-88022-0
 |언어=en
}}
* {{서적 인용
 |이름1=Dusa|성1=McDuff
 |이름2=Dietmar|성2=Salamon
 |날짜=1998
 |title=Introduction to symplectic topology
 |publisher=Oxford University Press
 |isbn=0-19-850451-9
 |언어=en
}}
* {{저널 인용
 |이름=Dusa|성=McDuff
 |날짜=2005
 |title=Floer theory and low dimensional topology
 |journal=Bulletin of the American Mathematical Society
 |volume=43 |pages=25–42
 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01080-3
 |mr=2188174
 |언어=en
}}

== 같이 보기 ==
* [[양자 코호몰로지]]
* [[그로모프-위튼 불변량]]
* [[거울 대칭]]
* [[모스 이론]]

{{전거 통제}}

[[분류:심플렉틱 위상수학]]
[[분류:게이지 이론]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:모스 이론]]
[[분류:3-다양체]]