플랫 함수 문서 원본 보기

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<!--[[파일:FBN_exp(-1x2).jpeg|thumb|함수''y''&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>−1/''x''<sup>2</sup></sup>는 ''x''&nbsp;=&nbsp;0에서 평평하다.]]-->
[[수학]]에서, 특히 [[실해석학]]에서 '''플랫 함수'''는 [[매끄러운 함수]] 모든 [[미분]]이 주어진 점 x0 ∈ ℝ에서 0이 되는 함수 ƒ&#x20;:&#x20;ℝ&#x20;→&#x20;ℝ이다. 플랫 함수는 어떤 의미에서 [[해석함수]]의 반대이다. 해석함수 ƒ&#x20;:&#x20;ℝ&#x20;→&#x20;ℝ는 x0 ∈ ℝ에 충분히 가까운 점에서 [[수렴급수|수렴]] [[멱급수]]를 통해 주어진다 :
: [[파일:"0" - geograph.org.uk - 2112765.jpg|섬네일]]<math> f(x) \sim \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k . </math>
플랫 함수의 경우에는 모든 미분은 ''x''<sub>0</sub>&#x20;∈&#x20;ℝ에서 사라진다. 다시 말해 모든 k ∈ ℕ에 대해서 ƒ<sup>(''k'')</sup>(''x''<sub>0</sub>)&#x20;=&#x20;0이다. 이것은 x0근처에서 의미 있는 [[테일러 급수]] 확장은 불가능하다는 것을 의미한다. [[테일러 정리]]에서, 함수의 비 상수 부분은 모든 n ∈ ℕ에 대해서 나머지 ''R<sub>n</sub>''(''x'')놓여있다.

함수는 반드시 한 점에서 평평할 필요가 없다. 흔히 ℝ에서 정의된 [[상수함수|상수 함수]]는 모든점에서 평평하다. 하지만 다른 사소한 예시도 있다.

== 예시 ==
다음과 같이 정의된 함수는 ''x ''= 0에서 평평하다:

: <math>f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & \text{if }x\neq 0 \\
0 & \text{if }x = 0 \end{cases} </math>

따라서, 이것은 [[비 해석적 매끄러운 함수]]의 예시이다.

== 참고 문헌 ==
* {{인용|first=P.|last=Glaister|title=A Flat Function with Some Interesting Properties and an Application|publisher=The Mathematical Gazette, Vol. 75, No. 474, pp. 438&ndash;440|date=December 1991|jstor=3618627}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분학]]
[[분류:실해석학]]
[[분류:매끄러운 함수]]