프리드리히 부등식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''프리드리히 부등식'''은 [[Kurt Friedrichs]]가 만든 [[함수해석학]]의 [[정리]]다. 이 정리는 [[정의역]]의 [[기하학]] 그리고 함수의 [[약도함수]]에서 [[Lp 공간|Lp유계]]를 사용하는 함수의 상황에서 쓰인다. 그리고 [[소볼레프 공간]]의 특정 [[노름]]과 동일하다는 것을 보여줄 수 있다. 프리드리히 부등식은 k=1일 때의 [[푸엥카레 부등식|푸엥카레-비르팅거 부등식]]을 일반화한다.

==명제==
<math>\Omega</math>를 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>에서 [[지름]]이 <math>d</math>인 [[유계 집합]]이라 하자. <math>u:\Omega\to\mathbb R</math>가 소볼레프 공간 <math>W_0^{k, p} (\Omega)</math> 에 있다고 가정하자.

즉 <math>u\in W^{k,p}(\Omega)</math>이고, 경계 <math>\partial\Omega</math>의 <math>u</math>의 [[소볼레프 공간|자취]]는 0이다. 그러면 아래의 식이 나온다.<math display="block">\| u \|_{L^p (\Omega)} \leq d^k \left( \sum_{| \alpha | = k} \| \mathrm{D}^{\alpha} u \|_{L^p (\Omega)}^p \right)^{1/p}.</math>위 식에서
* <math>\| \cdot \|_{L^p (\Omega)}</math>는 [[르베그 공간|''<sup>Lp</sup>'' 노름]]이다.
* ''α'' = (''α''<sub>1</sub>, ..., ''α''<sub>''n''</sub>)은 노름 |''α''| = ''α''<sub>1</sub> + ... + ''α''<sub>''n''</sub>;의 [[다중지표]]이다.
* D<sup>α</sup>''u''는 혼합 [[편미분|편도함수]]이다.<math display="block"> \mathrm{D}^\alpha u = \frac{\partial^{| \alpha |} u}{\partial_{x_1}^{\alpha_1} \cdots \partial_{x_n}^{\alpha_n} }.</math>

== 같이 보기 ==
* [[푸앵카레 부등식]]

== 참조 ==

* {{서적 인용|제목=Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering|성=Rektorys|이름=Karel|연도=2001|판=2nd|출판사=Reidel|위치=Dordrecht|쪽=188–198|장=The Friedrichs Inequality. The Poincaré inequality|원본연도=1977|isbn=1-4020-0297-1}}

[[분류:부등식]]