프뤼퍼 군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''프뤼퍼 군'''(Prüfer群, {{llang|en|Prüfer group}})은 분모가 어떤 주어진 소수의 거듭제곱인 [[유리수]]들의 [[합동 산술|법 1]] [[합동류]]들로 구성된 [[아벨 군]]이다. 여러 특수한 성질을 가진다.

== 정의 ==
[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>에 대하여, 다음 [[아벨 군]]들이 서로 [[동형]]이며, 이를 '''프뤼퍼 군''' <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>이라고 한다.
* [[1의 거듭제곱근|1의 <math>p^n</math> 거듭제곱근]]들의 곱셈군 <math>\{\exp(2\pi im/p^n) \mid m\in \mathbb{Z},\,n\in \mathbb{Z}^+\}\subsetneq\operatorname U(1)</math>
* [[몫군]] <math>\mathbb Q/\mathbb Z</math>의 [[쉴로브 부분군|쉴로브 <math>p</math>-부분군]]
* [[p진수체|<math>p</math>진수체]] 덧셈군의 [[p진 정수|<math>p</math>진 정수환]] 덧셈군에 대한 [[몫군]] <math>\mathbb Q_p/\mathbb Z_p</math>
* [[군의 표시]] <math>\langle g_1, g_2, g_3, \ldots \mid g_1^p = 1, g_2^p = g_1, g_3^p = g_2, \dots\rangle</math>에 의하여 정의되는 군
* [[귀납적 극한]] <math>\textstyle\varinjlim_{n\to\infty}p^{-n}\mathbb Z/\mathbb Z</math>

== 성질 ==
프뤼퍼 군의 부분군들은 다음과 같으며, 포함 관계에 따라 [[전순서 집합]]을 이룬다.
:<math>0 \subsetneq \left({1 \over p}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \left({1 \over p^2}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \left({1 \over p^3}\mathbb Z\right)/\mathbb Z \subsetneq \cdots\subsetneq \mathbb Z(p^\infty)</math>

프뤼퍼 군은 부분직접곱 기약군({{llang|en|subdirectly irreducible group}})이다. 즉, 진부분군들의 [[부분직접곱]]으로 나타낼 수 없다. 사실, [[아벨 군]]에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 부분직접곱 기약군이다.
* 소수 크기의 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(p)</math>이거나, 프뤼퍼 군이다.

정수환 위의 가군으로서, 프뤼퍼 군은 [[아르틴 가군]]이지만 [[뇌터 가군]]이 아니다.

[[이산 위상]]을 부여한 프뤼퍼 군 <math>\mathbb Z(p^\infty)</math>의 [[폰트랴긴 쌍대군]]은 [[p진 정수|<math>p</math>진 정수]]의 덧셈군 <math>\mathbb Z_p</math>이다.

== 역사 ==
독일의 수학자 [[하인츠 프뤼퍼]]({{llang|de|Heinz Prüfer}})가 1923년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Heinz|성=Prüfer|제목=Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären Abelschen Gruppen|저널=Mathematische Zeitschrift|날짜=1923|권=17|호=1|쪽=35-61 |doi= 10.1007/BF01504333|issn=0025-5874|언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[이진 유리수]]
* [[순환군]]
* [[원군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Quasi-cyclic group}}
* {{nlab|id=Prüfer group}}
* {{웹 인용|url=http://blogs.ams.org/visualinsight/2014/09/15/prufer-2-group/|제목=Prüfer 2-group|이름=John|성=Baez|웹사이트=Visual Insight: Mathematics Made Visible|출판사=[[미국 수학회]]|날짜=2014-09-15|언어=en}}

[[분류:아벨 군론]]