프로이즈볼로프 항등식 문서 원본 보기

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'''프로이즈볼로프 항등식'''(Proizvolov's identity, -恒等式)은 초등적인 [[정수론]]에서 사용되는 [[항등식]]의 일종으로, [[소비에트 연방]]의 뱌체슬라프 프로이즈볼로프(Вячесла́в Произволов)가 [[1985년]] [[소비에트 학생 올림피아드]]에서 문제로 제시한 것이다.<ref>Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2002), ''Mathematical miniatures'', Anneli Lax New Mathematical Library, '''43''', Mathematical Association of America, {{ISBN|0-88385-645-X}}.</ref>

이는 다음과 같이 공식화할 수 있다. 임의의 [[자연수]] N에 대해 1부터 2N까지 2N개의 자연수가 있다고 하자. 그리고 이를 다음과 같은 단조성을 만족하는 N개의 두 묶음 {A<sub>1</sub>, ..., A<sub>N</sub>}, {B<sub>1</sub>, ..., B<sub>N</sub>}으로 나눈다.

:<math> A_1 < A_2 < \cdots < A_N. </math>
:<math> B_1 > B_2 > \cdots > B_N. </math>

그러면, 다음과 같은 항등식이 성립하는데 이를 바로 프로이즈볼로프 항등식이라 한다.

* <math> |A_1-B_1| + |A_2-B_2| + \cdots + |A_N-B_N| = N^2.</math>

== 사례 ==
예로 1부터 8까지 8개의 숫자를 다음과 같이 배열해 보자.

: 1 < 3 < 6 < 7
: 8 > 5 > 4 > 2

그러면,

: |1-8| + |3-5| + |6-4| + |7-2| = 7 + 2 + 2 + 5 = 4<sup>2</sup>.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Games/ProizvolovGame.shtml 항등식의 증명]

[[분류:수론]]
[[분류:항등식]]
[[분류:수론 정리]]