프로베니우스 군 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''프로베니우스 군'''(Frobenius群, {{llang|en|Frobenius group}})은 어떤 두 부분군의 [[반직접곱]]으로 나타내어지고, [[군 표현론]]이 이 두 부분군으로 인해 완전히 결정되는 [[유한군]]이다.

== 정의 ==
[[유한군]] <math>G</math>가 어떤 유한 집합 <math>S</math> 위에 다음 조건을 만족시키는 [[군의 작용|작용]]을 갖는다면, <math>G</math>를 '''프로베니우스 군'''이라고 한다.
* <math>S</math>는 두 개 이상의 원소를 갖는다.
* [[추이적 작용]]이다.
* 임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, 만약 <math>g\ne1</math>이라면 <math>|\{s\in S\colon gs=s\}|\le1</math>이다.
* <math>gs=s</math>이며 <math>g\ne1</math>인 <math>g\in G</math> 및 <math>s\in S</math>가 존재한다.

프로베니우스 군 <math>G</math>의 원소들 가운데, 어떤 한 점 <math>s\in S</math>의 [[안정자군]] <math>S_x</math>를 <math>G</math>의 '''프로베니우스 여군'''(-餘群, {{llang|en|Frobenius complement}}) <math>H\le G</math>이라고 한다. (이러한 군들은 모두 서로 켤레 동형이다.) 주어진 프로베니우스 여군 <math>H\le G</math>에 대하여, '''프로베니우스 핵'''(-核, {{llang|en|Frobenius kernel}}) <math>K\underline\vartriangleleft G</math>은 다음과 같은 원소들로 구성된 [[정규 부분군]]이다. (이러한 부분 집합은 항상 [[정규 부분군]]을 이룸을 보일 수 있다.)
* <math>K=\{1\}\cup\left(G\setminus\bigcup_{g\in G}gHg^{-1}\right)</math>
프로베니우스 핵은 프로베니우스 여군의 선택에 의존하지 않는다. 이에 따라, <math>G</math>는 프로베니우스 핵과 프로베니우스 여군의 [[반직접곱]]이다.
:<math>G=K\rtimes H</math>

주어진 유한군 <math>G</math>에 대하여, <math>G</math>가 프로베니우스 군이 되게 하는 작용들은 모두 서로 [[동형]]이다.

== 성질 ==
프로베니우스 군 <math>G</math>의 프로베니우스 핵이 <math>K</math>이며, 프로베니우스 여군이 <math>H</math>라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
* <math>K</math>는 [[멱영군]]이다.
* 만약 <math>H</math>의 크기가 짝수라면, <math>K</math>는 [[아벨 군]]이다.
* <math>H</math>의 임의의 부분군 <math>A\le H</math>에 대하여, 만약 <math>A</math>의 크기가 두 [[소수 (수론)|소수]]의 곱이라면, <math>A</math>는 [[순환군]]이다.

== 표현 ==
프로베니우스 군 <math>G</math>의 프로베니우스 핵이 <math>K</math>이며, 프로베니우스 여군이 <math>H</math>라고 하자. 그렇다면 <math>G</math>의 복소수 [[기약 표현]]들은 다음 두 종류 가운데 하나이다.
* <math>H</math>의 복소수 기약 표현 <math>\rho\colon H\to\operatorname{GL}(V)</math>에 대하여, <math>q\colon G\to G/K\cong H</math>라면 <math>\rho\circ q\colon G\to\operatorname{GL}(V)</math>는 <math>G</math>의 복소수 기약 표현이다.
* <math>K</math>의 복소수 기약 표현 <math>\rho\colon K\to\operatorname{GL}(V)</math>에 대하여, 만약 <math>\rho</math>가 자명한 1차원 표현이 아니라면, <math>\rho</math>에 대한 [[유도 표현]] 역시 <math>G</math>의 복소수 기약 표현이다.

== 예 ==
대표적인 프로베니우스 군의 예로는 다음을 들 수 있다.
{| class=wikitable
! 군 !! 군의 크기 !! 작용하는 집합의 크기 !! 프로베니우스 핵 !! 프로베니우스 여군
|-
| <math>\operatorname{Sym}(3)</math> || 6 || 3 || <math>\operatorname{Cyc}(3)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>
|-
| <math>\operatorname{Dih}(2n+1)</math> || <math>4n+2</math> || <math>2n+1</math> || <math>\operatorname{Cyc}(n)</math> || <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>
|-
| <math>\operatorname{IGL}_1(\mathbb F_{p^n})</math> || <math>(p^n-1)p^n</math> || <math>p^n</math> || <math>\mathbb F_{p^n}\cong\operatorname{Cyc}(p)^{\oplus n}</math> || <math>\mathbb F_{p^n}^\times\cong\operatorname{Cyc}(p^n-1)</math>
|-
| <math>K\rtimes_\phi(\mathbb Z/2),\;\phi(1)\colon k\mapsto -k</math>, <math>K</math>는 아벨 군 || <math>2|K|</math> || <math>|K|</math> || <math>K</math> || <math>\mathbb Z/2=\operatorname{Cyc}(2)</math>
|}

== 역사 ==
[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]가 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 | 성=Rotman|이름= Joseph  | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer | 날짜=1994 | isbn= 978-1-4612-8686-8|doi=10.1007/978-1-4612-4176-8|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=148|issn=0072-5285|zbl=0810.20001|판=4|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} {{eom|title=Frobenius group}}

[[분류:순열군]]
[[분류:유한군]]