프레드홀름 작용소 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서 '''프레드홀름 작용소'''(Fredholm作用素, {{llang|en|Fredholm operator}})는 두 [[바나흐 공간]] 사이의, [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]이 유한 차원인 [[유계 작용소]]이다. 이 경우, 핵의 차원과 여핵의 차원의 차를 그 '''지표'''(指標, {{llang|en|index|인덱스}})라고 한다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>이며, <math>X</math>와 <math>Y</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라고 하자. <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 <math>\mathbb K</math>-[[유계 작용소]] <math>T\in B(X,Y;\mathbb K)</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>\mathbb K</math>-[[유계 작용소]]를 '''프레드홀름 작용소'''라고 한다.
* <math>T</math>의 [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker T=T^{-1}(0)</math>과 [[여핵]] <math>\operatorname{coker}T=Y/\operatorname{im}T</math>이 유한 차원의 [[벡터 공간]]이다.<ref>{{서적 인용|이름=Yuri A.|성=Abramovich|이름2=Charalambos D.|성2=Aliprantis|제목=An invitation to operator theory|언어=en|isbn=082182146-6|출판사=American Mathematical Society|날짜=2002|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-50|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=50}}</ref>{{rp|156}} 여기서 <math>Y/\operatorname{im}T</math>는 [[공역]]의 그 [[상 (수학)|상]]에 대한 [[몫공간]]이다.
* [[핵 (수학)|핵]] <math>\ker T</math>과 [[여핵]] <math>\operatorname{coker}T</math>이 유한 차원이며, 또한 그 [[상 (수학)|상]] <math>T(X)</math>가 [[닫힌집합]]이다.
* <math>T</math>는 [[콤팩트 작용소]]를 제외하고 가역이다. 즉, [[유계 작용소]] <math>S\in B(Y,X)</math>가 존재하여, <math>\operatorname{Id}_X-ST</math>와 <math>\operatorname{Id}_Y-TS</math> 둘 다 [[콤팩트 작용소]]이다.

프레드홀름 작용소 <math>T</math>의 '''지표''' <math>\operatorname{ind}T</math>는 그 핵의 차원과 여핵의 차원의 차다.
:<math>\operatorname{ind}T=\dim\ker T-\dim\operatorname{coker}T</math>.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
프레드홀름 작용소들은 합성에 대하여 닫혀 있으며, 이는 지표에 대하여 가법(加法)이다. 즉, 임의의 세 <math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 사이의 두 프레드홀름 작용소
:<math>X\xrightarrow TY\xrightarrow UZ</math>
가 주어졌을 때, <math>U\circ T\colon X\to Z</math> 역시 프레드홀름 작용소이며,
:<math>\operatorname{ind}(U\circ T)=\operatorname{ind}(U)+\operatorname{ind}(T)</math>
이다.

프레드홀름 작용소와 [[콤팩트 작용소]]의 합은 프레드홀름 작용소이며, 그 프레드홀름 지표는 변하지 않는다. 즉, 두 <Math>\mathbb K</math>-바나흐 공간 <math>X,Y</math> 사이의 프레드홀름 작용소 <math>F\colon X\to Y</math>와 [[콤팩트 작용소]] <Math>K\colon X\to Y</math>가 주어졌을 때,
:<math>\operatorname{ind}(F+K)=\operatorname{ind}(F)</math>
이다.

=== 위상수학적 성질 ===
<math>\mathbb K</math>-[[유계 작용소]]의 공간 <math>\operatorname B(X,Y;\mathbb K)</math>에 [[작용소 노름]]을 부여하자. 그렇다면, 프레드홀름 작용소들의 집합
:<math>\operatorname{Fred}(X,Y;\mathbb K)\subseteq\operatorname B(X,Y;\mathbb K)</math>
은 그 속의 [[열린집합]]이다.

=== 아티야-싱어 지표 정리 ===
{{본문|아티야-싱어 지표 정리}}
[[매끄러운 다양체]] 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]의 [[매끄러운 단면]] 공간 위의 프레드홀름 작용소의 지표는 [[아티야-싱어 지표 정리]]로 계산된다.

== 예 ==
만약 <math>X</math>와 <math>Y</math>가 유한 차원 [[바나흐 공간]]이라면, 그 사이의 모든 [[유계 작용소]]는 프레드홀름 작용소이다. 즉, 프레드홀름 작용소의 개념은 무한 차원에서만 의미가 있다.

임의의 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] 위의 [[항등 함수]]는 (자명하게) 지표 0의 프레드홀름 작용소이다.

=== 밀기 ===
[[분해 가능]] <math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 [[정규 직교 기저]]
:<math>(e_i)_{i=0}^\infty</math>
를 생각하자. 그렇다면, 밀기 연산자({{llang|en|shift operator}})
:<math>S\colon e_i\mapsto e_{i+1}\qquad\forall i\in\mathbb N</math>
를 생각할 수 있다. 이 경우
:<math>\ker S=\{0\}</math>
:<math>\operatorname{im}S=\left(\operatorname{Span}_{\mathbb K}\{e_0\}\right)^\perp</math>
이므로
:<math>\operatorname{ind}S=\dim\ker S-\dim\operatorname{coker}S=-1</math>
이다.

== 역사 ==
[[적분 방정식]] 이론을 개척한 [[스웨덴]]의 수학자 [[에리크 이바르 프레드홀름]]<ref>{{저널 인용|이름=Ivar|성=Fredholm|저자링크=에리크 이바르 프레드홀름|연도=1900|제목=Sur une nouvelle méthode pour la résolution du probléme de Dirichlet|언어=fr|저널=Kong. Vetenskaps-Akademiens Fbrh. Stockholm|쪽=39–46|url=http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:32.0435.02&format=complete}}</ref><ref>{{저널 인용|저널={{lang|la|Acta Mathematica}}|권=27|호=1|연도=1903|월=12|쪽=365–390|doi=10.1007/BF02421317|제목=Sur une classe d’équations fonctionnelles|이름=Ivar|성=Fredholm|저자링크=에리크 이바르 프레드홀름|언어=fr}}</ref>의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|저자=D.E. Edmunds, W.D. Evans|연도=1987|제목=Spectral theory and differential operators|url=https://archive.org/details/spectraltheorydi0000edmu|출판사=Oxford University Press|ISBN=0-19-853542-2|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Bruce K.|성=Driver|제목=Analysis Tools with Applications|쪽=579–600|url=http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-02-03/Lecture_Notes/PDE-Anal-Book/analpde1.pdf|날짜=2003-06-09|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fredholm operator}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수해석학]]