프레드홀름 이론 문서 원본 보기

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'''프레드홀름 이론'''({{llang|en|Fredholm theory}})은 [[적분 방정식]] 이론 중 하나이다. 가장 좁은 의미에서, 프레드홀름 이론은 프레드홀름 적분 방정식의 해와 관련이 있다. 더 넓은 의미에서, 프레드홀름 이론의 추상 구조는 [[힐베르트 공간]]에서 [[프레드홀름 작용소|프레드홀름 연산자]] 및 프레드홀름 커널의 스펙트럴 이론 측면에서 제공된다.이 이론은 스웨덴 수학자 [[에리크 이바르 프레드홀름]]의 이름을 따서 명명되었다.

== 개요 ==
다음 절에서는 [[연산자 이론]] 및 [[함수해석학]]의 더 넓은 맥락에서 프레드홀름 이론의 위치에 대한 대략적인 개요를 제공한다.

== 제1종 프레드홀름 방정식 ==
프레드홀름 이론의 대부분은 함수 ''g'' 와 ''K'' 가 주어질 때 ''f'' 에 대한 다음 [[적분 방정식]]과 관련이 있다.

: <math>g(x)=\int_a^b K(x,y) f(y)\,dy.</math>

이 방정식은 [[미분방정식|미분 방정식]]의 역으로, 수학의 많은 문제에서 자연스럽게 발생한다. 즉, 다음 미분 방정식을 풀고자 한다:

: <math>Lg(x)=f(x)</math>

여기서 {{수학|''L''}}은 선형 [[미분 연산자]]를 나타낸다 함수 {{수학|''f''}} 는 주어진 함수이고, 이 방정식을 만족하는 {{수학|''g''}}를 구해야 한다.

예를 들어, {{수학|''L''}}은 다음과 같은 [[타원형 미분 연산자|타원 연산자]]일 수 있다:

: <math>L=\frac{d^2}{dx^2}\,</math>

이 경우 풀어야 할 방정식은 [[푸아송 방정식]]이 된다.

이러한 방정식을 푸는 일반적인 방법은 [[그린 함수]]를 사용하는 것이다. 즉, 직접적인 접근보다는, 먼저 주어진 쌍 {{수학|''x,y''}}에 대해

: <math>LK(x,y) = \delta(x-y),</math>

가 성립하는 함수<math>K=K(x,y)</math>를 찾는다. 여기서 {{수학|''δ''(''x'')}}는 [[디랙 델타 함수|디랙 델타]]이다.

위의 미분 방정식에 대한 원하는 해는 프레드홀름 적분 방정식의 형태다.

: <math>g(x)=\int K(x,y) f(y)\,dy.</math>

함수 {{수학|''K''(''x,y'')}}는 그린 함수 또는 [[적분 변환|적분의 커널]]으로 다양하게 알려져 있다.

일반적 이론에서 {{수학|''x''}}와 {{수학|''y''}}는 [[다양체]]의 점일 수 있다. 가장 단순한 경우는 [[수직선 (수학)|실수 직선]] 또는 {{수학|''m''}} 차원 [[유클리드 공간]]이다. 또한 종종 방정식의 함수가 주어진 [[함수 공간]]의 원소인 조건이 들어 간다. 보통 [[제곱 적분 기능|제곱 적분 가능 함수]] 공간이 연구되고 [[소볼레프 공간]]이 자주 나타난다.

이 때 사용될 함수 공간은 종종 미분 연산자의 [[고윳값과 고유 벡터|고유값]] 문제의 해에 따라 결정된다. 즉, 다음 방정식

: <math>L\psi_n(x)=\omega_n \psi_n(x)</math>

의 해에 따라서 결정 된다. 여기서 {{수학|''ω<sub>n</sub>''}}은 고유값이고 {{수학|''ψ<sub>n</sub>''(''x'')}}는 고유벡터이다. 고유 벡터 집합은 [[바나흐 공간]]에 걸쳐 있으며 자연스러운 [[내적 공간|내적]]이 있는 경우, 고유 벡터는 [[리스 표현 정리|리츠 표현 정리]]가 적용되는 [[힐베르트 공간]]에 걸쳐 있다. 이러한 공간의 예로는 2차 [[상미분방정식|상미분 방정식]]들의 모임에 대한 해로 발생하는 직교 다항식이 있다.

위와 같이 힐베르트 공간이 주어지면 커널은 다음과 같다:

: <math>K(x,y)=\sum_n \frac{\psi_n(x) \psi_n(y)} {\omega_n}.</math>

이 형식에서 {{수학|''K''(''x,y'')}}는 종종 [[프레드홀름 작용소|프레드홀름 연산자]] 또는 프레드홀름 커널이라고 한다. 이것이 이전과 동일한 커널이라는 것은 힐베르트 공간의 기저의 [[완비 거리 공간|완비성]], 즉 다음과 같다.

: <math>\delta(x-y)=\sum_n \psi_n(x) \psi_n(y).</math>

<math>\omega_n</math>이 일반적으로 증가하기 때문에 결과적으로 연산자 {{수학|''K''(''x,y'')}}의 고유값은 0을 향해 감소하는 것으로 보인다.

== 비동차 방정식 ==
비동차 프레드홀름 적분 방정식

: <math>f(x)=- \omega \varphi(x) + \int K(x,y) \varphi(y)\,dy</math>

은 형식적으로

: <math>f = (K-\omega) \varphi</math>

과 같이 쓸 수 있고 다음과 같은 형식적 해가 있다:

: <math>\varphi=\frac{1}{K-\omega} f.</math>

이 형식적 해는 다음 연산자로 정의된다:

: <math>R(\omega)= \frac{1}{K-\omega I}.</math>

''K''의 고유 벡터 및 고유값 모음이 주어지면 해는 다음과 같은 구체적인 형식으로 주어질 수 있다.

: <math>R(\omega; x,y) = \sum_n \frac{\psi_n(y)\psi_n(x)}{\omega_n - \omega}</math>

여기서

: <math>\varphi(x)=\int R(\omega; x,y) f(y)\,dy.</math>

그러한 해가 존재함과 필요충분조건인 명제는 [[프레드홀름의 정리]] 중 하나에서 다뤄진다. 이 해는 일반적으로 <math>\lambda=1/\omega</math>의 거듭제곱으로 확장된다. 이 경우 [[리우빌-노이만 시리즈|리우빌-노이만 급수]]로 알려져 있다. 이 경우 적분 방정식은 다음과 같이 작성된다.

: <math>g(x)= \varphi(x) - \lambda \int K(x,y) \varphi(y)\,dy</math>

해결 방법은 다음과 같이 대체 형식으로 작성된다.

: <math>R(\lambda)= \frac{1}{I-\lambda K}.</math>

== 프레드홀름 행렬식 ==
프레드홀름 행렬식은 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

: <math>\det(I-\lambda K) = \exp \left[
-\sum_n \frac{\lambda^n}{n} \operatorname{Tr}\, K^n \right]</math>

어디

: <math>\operatorname{Tr}\, K = \int K(x,x)\,dx</math>

등등. 해당 [[리만 제타 함수|제타 함수]]는 다음과 같다.

: <math>\operatorname{Tr}\, K^2 = \iint K(x,y) K(y,x) \,dx\,dy</math>

등등. 해당 [[리만 제타 함수|제타 함수]]는 다음과 같다.

: <math>\zeta(s) = \frac{1}{\det(I-s K)}.</math>

제타 함수는 해의 결정 요인으로 생각할 수 있다.

제타 함수는 [[동역학계|동적계]]를 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 이것은 [[리만 제타 함수]]와 동일한 일반적인 유형의 제타 함수이다. 그러나 이 경우 해당 커널을 알 수 없다. 그러한 커널의 존재는 [[힐베르트-폴리야 추측|힐베르트-폴리아 추측]]으로 알려져 있다.

== 주요 결과 ==
이론의 고전적인 결과는 프레드홀름의 정리이며 그 중 하나는 프레드홀름대안이다.

일반 이론의 중요한 결과 중 하나는 함수 공간이 등 [[동등 연속 함수족|연속]]일 때 커널이 [[콤팩트 작용소|컴팩트 작용소]]라는 것이다.

관련된 유명한 결과는 [[아티야-싱어 지표 정리]]로, [[컴팩트한 매니폴드|콤팩트 다양체]]에서 타원 연산자의 지수(dim ker – dim coker)와 관련된다.

== 역사 ==
''Acta Mathematica'' 에 실린 프레드홀름의 1903년 논문은 [[연산자 이론]] 확립의 주요 랜드마크 중 하나로 간주된다. [[다비트 힐베르트]]는 무엇보다도 프레드홀름의 적분 방정식에 대한 연구와 관련하여 [[힐베르트 공간]]의 추상화를 개발했다.

== 같이 보기 ==
* [[그린 함수]]
* 스펙트럼 이론
* 프레드홀름대안

== 참조 ==
* {{저널 인용|title=Sur une classe d'equations fonctionnelles|journal=Acta Mathematica|last=Fredholm|first=E. I.|url=https://zenodo.org/record/1925972/files/article.pdf|year=1903|volume=27|pages=365–390|doi=10.1007/bf02421317|doi-access=free}}
* {{서적 인용|title=Spectral Theory and Differential Operators|url=https://archive.org/details/spectraltheorydi0000edmu|last=Edmunds|first=D. E.|last2=Evans|first2=W. D.|year=1987|publisher=Oxford University Press|isbn=0-19-853542-2}}
* {{springer|id=f/f041440|title=Fredholm kernel|author=B. V. Khvedelidze, G. L. Litvinov}}
* {{서적 인용|title=Analysis Tools with Applications|last=Driver|first=Bruce K.|pages=579–600|chapter=Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem|chapter-url=http://math.ucsd.edu/~driver/231-02-03/Lecture_Notes/compact.pdf}}
* {{서적 인용|title=Mathematical Methods of Physics|last=Mathews|first=Jon|last2=Walker|first2=Robert L.|year=1970|edition=2nd|publisher=W. A. Benjamin|location=New York|isbn=0-8053-7002-1}}
* {{저널 인용|title=Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds|journal=Pacific J. Math.|last=McOwen|first=Robert C.|year=1980|volume=87|issue=1|pages=169–185|doi=10.2140/pjm.1980.87.169|zbl=0457.35084|doi-access=free}}

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:적분학]]