프레네-세레 공식 문서 원본 보기

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[[파일:frenet.png|섬네일|300px|right|공간곡선의 '''T''', '''N''', '''B''' 벡터 및 '''T'''와 '''N'''으로 생성되는 [[접촉평면]].]]
[[미분기하학]]에서 '''프레네-세레 공식'''(Frenet-Serret formulas)은 [[곡선]]의 움직임을 묘사하는 공식으로, 단위 접벡터, 법벡터 및 이중접벡터 사이의 관계를 나타낸다. 1847년에 이 공식을 발견한 [[장 프레데릭 프레네]](Jean Frédéric Frenet)와 1851년에 이를 독자적으로 다시 발견한 [[조제프 알프레드 세레]](Joseph Alfred Serret)의 이름을 땄다. 공식 자체가 발견된 것은 19세기 중반이나, 이 글에서 사용하는 벡터 기호 및 선형대수학 등은 그로부터 한참 후에 발명되었다.

== 공식 ==
[[파일:FrenetTN.svg|섬네일|right|350px|두 점에서의 '''T'''와 '''N''' 벡터 및 두 번째 틀을 첫 번째 틀의 위치로 이동시킨 결과(점선). '''T''' 벡터가 δ'''T''''만큼 변화한 것을 알 수 있다. 두 점 사이의 거리를 δs로 놓으면 δ'''T'''/δs의 극한 <math>\tfrac{d\mathbf{T}}{ds}</math>은 '''N'''의 방향을 가리키게 되며, 곡률은 틀이 회전하는 속도를 나타낸다.]]
'''r'''(t)를 [[유클리드 공간]]의 [[곡선]]으로, [[위치벡터]]를 시간의 함수로 나타낸 것이라 하자. 프레네-세레 공식은 '비퇴화 곡선'에 대해서만 적용되는데, 이는 대략적으로 말하면 곡선이 [[곡률]]을 가진다는 뜻이다. 보다 정확히 말하면, [[속도벡터]] '''r'''′(t)와 [[가속도벡터]] '''r'''′′(t)가 서로 평행이 아니어야 한다.

곡선상에서 시간 t까지 입자가 움직인 거리를 s(t)로 나타내자. 여기에서 s는 [[호의 길이]]로 매개화되어, <math>s(t)=\int_0^t \|\mathbf{r}'(\tau)\|d\tau</math>가 성립한다. 또한 '''r''''≠0라고 가정했으므로 t를 s에 대해 나타낼 수 있고, 이에 따라 '''r'''(s) = '''r'''(t(s))로 쓸 수 있다. 이제 비퇴화 곡선 '''r'''(s)에 대해 프레네-세레 틀을 다음과 같이 정의한다.

*단위 접벡터 '''T''':
::<math> \mathbf{T} = {d\mathbf{r} \over ds}. \qquad \qquad (1) </math>
*단위 법벡터 '''N''':
::<math> \mathbf{N} = {\frac{d\mathbf{T}}{ds} \over \| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \|}. \qquad \qquad (2) </math>
*단위 이중법벡터 '''B''':
::<math> \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}. \qquad \qquad (3) </math>

('''B'''의 정의에 등장하는 곱셈 기호에 대해서는 [[외적 (수학)|외적]] 문서를 참고할 것.)

'''T'''는 단위 벡터이므로, 위의 방정식 (2)로부터 '''N'''이 언제나 '''T'''에 수직임을 알 수 있으며, 또한 방정식 (3)으로부터 '''B'''가 '''T'''와 '''N''' 양쪽 모두에 수직이라는 것도 알 수 있다. 따라서 세 벡터는 각자에 대해 서로 수직이다. 보다 구체적으로는 다음이 성립한다:
:<math> \mathbf{T} \times \mathbf{N} = \mathbf{B}, \qquad \qquad (4) </math>
:<math> \mathbf{N} \times \mathbf{B} = \mathbf{T}. \qquad \qquad (5) </math>.
:<math> \mathbf{B} \times \mathbf{T} = \mathbf{N}. \qquad \qquad (6) </math>.

이제 드디어 '''프레네-세레 공식'''을 서술하자:

:<math>
\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N}. &
\end{matrix}
</math>

여기에서 <math>\kappa</math>는 [[곡률]]이며, <math>\tau</math>는 [[곡선 비틀림]]이다.

프레네-세레 공식은 다른 말로 '프레네-세레 정리'라고도 하며, 다음의 행렬 기호를 이용하면 보다 간결하게 나타낼 수 있다:

:<math> \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}.</math>

(이 행렬은 [[반대칭행렬]]이다.)

== 같이 보기 ==
* [[자연방정식]]
* [[곡률]]
* [[곡선 비틀림]]

[[분류:미분기하학]]
[[분류:곡선]]
[[분류:곡률]]
[[분류:기하학 정리]]