풍부한 가역층 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''풍부한 가역층'''(豐富한可逆層, {{llang|en|ample invertible sheaf}})은 그 거듭제곱의 [[단면 (올다발)|단면]]들을 [[사영 공간]]의 동차 좌표로 간주하여 [[대수다양체]]를 [[사영 공간]]에 매장시킬 수 있는 [[가역층]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=벡터 속 이론|저자=양재현|출판사=민음사|날짜=1989-01-01|isbn=89-374-3560-8|url=http://minumsa.minumsa.com/book/958/|언어=ko}}</ref> [[복소수체]] 위에서, 이는 [[가역층]]의 [[천 특성류]]가 [[켈러 구조]]로 표현됨을 뜻한다.

== 정의 ==
=== 매우 풍부한 가역층 ===
[[스킴 사상]] <math>q\colon X\to Y</math> 및 <math>X</math> 위의 [[가역층]] <math>\mathcal L</math>이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는
* <math>Y</math> 위의 [[준연접층]] <math>\mathcal E</math>
* <math>Y</math>-스킴의 몰입 <math>\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P(\mathcal E)</math>
가 존재한다면, <math>\mathcal L</math>이 '''<math>q</math>에 대하여 매우 풍부한 가역층'''({{llang|en|very ample invertible sheaf relative to <math>q</math>}}, {{llang|fr|faisceau inversible très ample pour <math>q</math>}})이라고 한다.<ref name="ÉGA2">{{저널 인용
       | last = Grothendieck
       | first = Alexandre
       | 저자링크1 = 알렉산더 그로텐디크
       | last2 = Dieudonné
       | first2 = Jean
       | author2-link = 장 디외도네
       | year = 1961
       | title = Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes
       | journal = Publications Mathématiques de l’IHÉS
       | volume = 8
       | mr = 0217084
       | url = http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
       | doi = 10.1007/bf02699291
       | 언어 = fr
       | access-date = 2015-08-10
       | archive-date = 2017-01-12
       | archive-url = https://web.archive.org/web/20170112024503/http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1961__8_
       | url-status = dead
       }}</ref>{{rp|79, Définition 4.4.2}}
:<math>\mathcal L\cong\iota^*\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)</math>
<math>\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)</math>의 단면들은 대략 [[사영 공간]]의 [[동차좌표]](의 [[선형결합]])에 해당하므로, <math>L</math>의 단면들은 [[사영 공간]]의 동차좌표를 이룬다.
'''매우 풍부한 인자'''({{llang|en|very ample divisor}})는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 [[카르티에 인자]]이다.

[[로빈 하츠혼]]<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|120}}과 류칭<ref name="Liu"/>{{rp|167, Definition 5.1.26}}이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 [[알렉산더 그로텐디크]]의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 '''H-매우 풍부한 가역층'''이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

[[스킴 사상]] <math>q\colon X\to Y</math> 및 <math>X</math> 위의 [[가역층]] <math>\mathcal L</math>이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>Y</math>-스킴의 몰입
:<math>\iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P_Y^n</math>
이 존재한다면, <math>\mathcal L</math>이 '''<math>q</math>에 대하여 H-매우 풍부한 가역층'''이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 <math>\mathcal E</math>는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 [[사영 공간]] <math>\mathbb P_Y^n</math>의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

=== 풍부한 가역층 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[분리 스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 [[가역층]] <math>\mathcal L</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''풍부한 가역층'''({{llang|en|ample invertible sheaf}}, {{llang|fr|faisceau inversible ample}})이라고 한다.<ref name="ÉGA2"/>{{rp|84, Définition 4.5.3}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|153}}
* <math>X</math> 위의 임의의 유한형 [[준연접층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>\mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}</math>은 대역적 단면으로부터 생성된다.<ref name="ÉGA2"/>{{rp|85, Proposition 4.5.5(d)}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|153}}<ref name="Liu">{{서적 인용
 |이름       = Qing
 |성          = Liu
 |날짜       = 2006-06-29
 |제목       = Algebraic geometry and arithmetic curves
 |기타       = Reinie Erne 역
 |총서       = Oxford Graduate Texts in Mathematics
 |volume       = 6
 |출판사    = Oxford University Press
 |isbn         = 978-0-19-920249-2
 |zbl          = 1103.14001
 |mr           = 1917232
 |판          = 2
 |url          = http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |언어       = en
 |확인날짜 = 2015-08-10
 |보존url    = https://web.archive.org/web/20160305003407/http://www.math.u-bordeaux1.fr/~qliu/Book/
 |보존날짜 = 2016-03-05
 |url-status = dead
}}</ref>{{rp|169, Definition 5.1.33}}
* <math>X</math> 위의 임의의 유한형 [[준연접층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여, <math>\mathcal F</math>가 <math>\mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}</math>의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 <math>n,k\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다.<ref name="ÉGA2"/>{{rp|85, Proposition 4.5.5(d′)}}
* <math>X</math> 위의 유한형 [[준연접층|준연접]] [[아이디얼 층]] <math>\mathcal I</math>에 대하여, <math>\mathcal I</math>가 <math>\mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}</math>의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 <math>n,k\in\mathbb Z^+</math>가 존재한다.<ref name="ÉGA2"/>{{rp|85, Proposition 4.5.5(d″)}}
'''풍부한 인자'''(豊富한因子, {{llang|en|ample divisor}})는 풍부한 가역층에 대응하는 [[카르티에 인자]]이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|153, Remark II.7.4.1}}

=== 대역적 단면으로 생성되는 층 ===
[[국소환 달린 공간]] <math>X</math> 위의 [[아벨 군]] [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal F</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''대역적 단면으로 생성되는 층'''({{llang|en|sheaf generated by global sections}})이라고 한다.
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>\Gamma(\mathcal F,U)=\operatorname{Span}\operatorname{res}_{X,U}(\Gamma(\mathcal F,X))</math>이다.
여기서 <math>\operatorname{res}_{X,U}\colon\Gamma(\mathcal F,X)\to\Gamma(\mathcal F,U)</math>는 제약 사상이며, <math>\Gamma(\mathcal F,-)</math>는 주어진 [[열린집합]] 위의 단면들의 아벨 군이다.

== 성질 ==
[[뇌터 환]] <math>R</math> 위의 사영 스킴 <math>p\colon X\to\operatorname{Spec}R</math>가 주어졌을 때, <math>p</math>에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|154, Example II.7.4.3}} [[뇌터 환]] <math>R</math> 위의 [[유한형 사상|유한형]] 스킴 <math>p\colon X\to\operatorname{Spec}R</math> 및 <math>X</math> 위의 가역층 <math>\mathcal L</math>이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|154, Theorem II.7.6}}
* <math>\mathcal L</math>이 풍부한 가역층이다.
* 충분히 큰 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>\mathcal L^{\otimes n}</math>은 <math>p</math>에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 [[네프 가역층]]이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

=== 풍부함의 필요 충분 조건 ===
주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[고유 스킴]] <math>X\to\operatorname{Spec}K</math> 위에 [[카르티에 인자]] <math>D</math>가 주어졌다고 하자. '''나카이-모이셰존 조건'''([中井]-Мойшезон條件, {{llang|en|Nakai–Moishezon condition}})에 의하면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>D</math>에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
* 모든 [[정역 스킴|정역]] 부분 스킴 <math>Y\subset X</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*:<math>\overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0</math>

'''클라이먼 조건'''(Kleiman條件, {{llang|en|Kleiman condition}})에 따르면, 임의의 [[사영 대수다양체]] ''X'' 위의 카르티에 인자 ''D''에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>D</math>는 풍부한 가역층이다.
* <math>X</math> 위의 곡선뿔({{llang|en|cone of curves}})을 <math>\operatorname{NE}(X)</math>라고 하자. 그 [[폐포 (위상수학)|폐포]] 위의 임의의 원소 <math>C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}</math>에 대하여, <math>D.C>0</math>이다.
클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 <math>D.D>0</math>인 것과 대응한다.

'''카르탕-세르-그로텐디크 정리'''({{llang|en|Cartan–Serre–Grothendieck theorem}})에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 <math>L</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>L</math>은 풍부한 가역층이다.
* <math>X</math> 위의 임의의 [[연접층]] <math>\mathcal F</math>에 대하여, <math>\mathcal F\otimes L^n</math>이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 <math>n</math>이 존재한다.

=== 해석기하학에서의 풍부 ===
복소수 <math>n</math>차원 [[복소다양체]] <math>M</math> 위의 (1,1)차 [[복소수 미분 형식]]
:<math>\omega\in\Omega^{1,1}(M)\cap\Omega^2(M;\mathbb R)</math>
에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 '''양의 (1,1)-미분 형식'''({{llang|en|positive (1,1)-form}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in M</math>에서, [[정칙 접공간]] <math>\mathrm T^{1,0}_xM</math>의 [[쌍대 공간]] <math>\mathrm T^{1,0*}_xM</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(\mathrm dz^1,\dotsc,\mathrm dz^n)</math>을 잡았을 때, <math>\mathrm i\omega|_x=\textstyle\sum_i\alpha_idz^i\wedge d\bar z^i</math>의 꼴이며, <math>\alpha_1,\dots,\alpha_n\ge0</math>는 음이 아닌 실수이다.
* 임의의 <math>x\in M</math> 및 <math>v\in\mathrm T^{1,0}_x(M)</math>에 대하여, <math>-\mathrm i\omega(v,\bar v)\ge0</math>이다.
* <math>\operatorname{Im}h=-\omega</math>인, 양의 반정부호인 [[에르미트 형식]] <math>h</math>가 존재한다.
즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 [[복소다양체]]는 [[에르미트 다양체]]와 [[동치]]이다.

[[복소다양체]] <math>M</math> 위의 해석적 선다발 <math>L\twoheadrightarrow M</math>에 대하여, <math>\nabla^{0,1}=\bar\partial</math>인 표준적인 [[벡터 다발 접속|접속]]이 존재하는데, 이를 '''천 접속'''({{llang|en|Chern connection}})이라고 한다. 천 접속의 곡률 <math>F</math>는 항상
:<math>F\in\Omega^{1,1}(M)\cap\mathrm i\Omega^2(M;\mathbb R)</math>
이며, [[천 특성류]]를 표현한다. 만약 <math>\mathrm iF</math>가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, [[천 특성류]]가 [[에르미트 다양체]] 구조를 정의한다면), <math>L</math>을 '''양의 선다발'''({{llang|en|positive line bundle}})이라고 한다. <math>F</math>는 항상 [[닫힌 미분 형식]]이므로, 이는 [[켈러 다양체]]의 구조를 정의한다.

[[복소수체]] 위의 완비 대수다양체 <math>X \to \operatorname{Spec}\mathbb C</math> 위의 [[가역층]] <math>\mathcal L</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 <math>X^{\operatorname{an}}</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[복소다양체]]를 이루며, <math>\mathcal L^{\operatorname{an}}</math>은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal L</math>은 풍부한 가역층이다.
* <math>\mathcal L^{\operatorname{an}}</math>은 양의 선다발이다.

== 예 ==
=== 아핀 스킴 위의 가역층 ===
[[뇌터 스킴|뇌터]] [[아핀 스킴]] 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|154, Example II.7.4.2}}

=== 사영 공간 위의 가역층 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n_K</math> 및 정수 <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여, 가역층
:<math>\mathcal O_{\mathbb P^n_K}(k) = \mathcal O_{\mathbb P^n_K}(-1)^{\otimes -k}</math>
을 정의할 수 있다. 여기서 <math>\mathcal O(-1)</math>은 [[보편 가역층]]이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|155, Example II.7.6.1}}
* <math>\mathcal O(k)</math>는 풍부한 가역층이다.
* <math>\mathcal O(k)</math>는 [[스킴 사상]] <math>\mathbb P^n_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K</math>에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
* <math>k>0</math>이다.

=== 대수 곡선 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] 위의 [[대수 곡선]]의 경우, 어떤 [[인자 (대수기하학)|인자]] <math>D</math>에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 [[필요 충분 조건]]은 <math>\deg D>0</math>인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수 <math>g</math>의 대수 곡선의 경우, [[인자 (대수기하학)|인자]] <math>D</math>에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 [[필요 충분 조건]]은
:<math>\deg D \ge 2g + 1</math>
인 것이다.

예를 들어, [[사영 직선]](<math>g=0</math>)의 경우 모든 선다발은 [[보편 선다발]]의 정수차 텐서곱 <math>\mathcal O(d)</math>이다 (버코프-그로텐디크 정리 {{Llang|en|Birkhoff–Grothendieck theorem}}). 이 경우 <math>d\ge1</math>인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, <math>d \le 0</math>인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, [[사영 직선]] <math>\mathbb P^1</math> 위의 [[가역층]] <math>\mathcal O(2)</math>을 생각하자. <math>\mathbb P^1</math>의 [[동차 좌표계]] <math>[s:t]</math>에 대하여, 그 단면의 공간은
:<math>\Gamma(\mathbb P^1;\mathcal O(2)) = K s^2 \oplus K st \oplus K t^2</math>
이다. 즉, 사상
:<math>[s:t] \to [s^2: st: t^2]</math>
는 매장 <math>\mathbb P^1 \hookrightarrow \mathbb P^2</math>을 정의하며, 그 [[상 (수학)|상]]은 [[대수 곡선]]
:<math> \operatorname{Proj} \frac{K[x,y,z]}{xz - y^2}</math>
이다.

[[사영 직선]]의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

=== 대수 곡면 ===
나카이-모이셰존 조건에 따라서, [[대수 곡면]]의 경우 풍부한 인자 <math>D</math>는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.
* <math>D</math>의 [[자기 교차수]] <math>D.D>0</math>
* <math>X</math> 위의 임의의 (기약) [[대수 곡선]] <math>C\subset X</math>에 대하여 <math>D.C>0</math>
자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. [[나가타 마사요시]]는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Nagata | first=Masayoshi | authorlink= 나가타 마사요시 | title=On the 14th problem of Hilbert | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1959-07_81_3/page/n232 | mr=0154867 | year=1959 | journal=American Journal of Mathematics | volume=81 | pages=766–772 | doi=10.2307/2372927 | jstor=2372927 | issue=3 | 언어=en}}</ref>

== 역사 ==
나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈({{llang|ja|{{ruby-ja|中井 喜和|なかい よしかず}}}})<ref>{{저널 인용 | doi=10.2307/2373180 | last1=Nakai | first1=Yoshikazu | title=A criterion of an ample sheaf on a projective scheme | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1963-01_85_1/page/n21 | jstor=2373180 | mr=0151461 | year=1963 | journal=American Journal of Mathematics | issn=0002-9327 | volume=85 | pages=14–26 | issue=1 | 언어=en}}</ref>와 보리스 게르셰비치 모이셰존({{llang|ru|Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н}})<ref>{{저널 인용 | last=Мойшезон | first=Б. Г | title=Критерий проективности полных алгебраических абстрактных многообразий | mr=0160782 | 날짜=1964 | journal=Известия академии наук СССР. Серия математическая | issn=0373-2436 | volume=28 | 호=1 | pages=179–224 | url= http://mi.mathnet.ru/izv3069  | 언어=ru}}</ref> 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼({{llang|en|Steven Lawrence Kleiman}})이 1966년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | doi=10.2307/1970447 | last=Kleiman | first=Steven L. | title=Toward a numerical theory of ampleness | jstor=1970447 | mr=0206009 | year=1966 | journal=Annals of Mathematics | issn=0003-486X | volume=84 | pages=293–344 | issue=3 | 언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Invertible sheaf|first= V.A.|last=Iskovskikh}}
* {{eom|title=Ample sheaf|first= V.A.|last=Iskovskikh}}
* {{eom|title=Ample vector bundle|first=O.A.|last=Ivanova}}
* {{nlab|id=ample sheaf|title=Ample sheaf}}
* {{nlab|id=positive line bundle|title=Positive line bundle}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2013/01/30/the-nakai-moishezon-criterion/|제목=The Nakai-Moishezon criterion|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2013-01-30|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/315273/how-should-i-think-about-very-ample-sheaves|제목=How should I think about very ample sheaves?|출판사=StackExchange|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/160459/kleimans-and-nakai-moishezons-ampleness-criteria|제목=Kleiman's and Nakai-Moishezon's ampleness criteria|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/141958/do-versions-of-the-nakai-moishezon-and-kleiman-criteria-hold-for-moishezon-manif|제목=Do versions of the Nakai-Moishezon and Kleiman criteria hold for Moishezon manifolds, or other 'nice' spaces?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/167482/are-ample-and-positive-line-bundle-the-same-concept|제목=Are “ample” and “positive” line bundle the same concept?|출판사=Math Overflow|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[파노 다양체]]
* [[렙셰츠 초평면 정리]]
* [[소멸 정리]]

[[분류:대수기하학]]
[[분류:벡터 다발]]
[[분류:복소다양체]]