풀린매듭 문서 원본 보기

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[[파일:Unknots.svg|오른쪽|섬네일|150x150픽셀| 풀린매듭의 두 가지 간단한 그림]]
[[매듭 이론]]에서 '''풀린매듭'''({{llang|en|unknot}}) 또는 '''자명한 매듭'''({{llang|en|trivial knot}})은 모든 매듭 중에서 가장 간단한 것이다. 직관적으로 매듭이 없는 것은 꼬임이 없는 원이다. 매듭 이론가에게 풀린매듭은 기하학적으로 둥근 [[원 (기하학)|원]]에 대해 동위(즉, 변형 가능)인 [[3차원 초구]]에 [[매장 (수학)|포함된]] [[구 (기하학)|위상수학적 원]]인 '''표준 풀린매듭'''이다.

풀린매듭은 매장된 [[원판]]의 경계가 되는 유일한 매듭이며, 이는 풀린매듭만이 [[자이페르트 곡면|자이페르트 종수]] 0을 갖는다는 성질을 제공한다. 마찬가지로, 풀린매듭은 [[연결합|매듭 합]] 연산에 대한 [[항등원]]이다.

== 매듭 풀기 문제 ==
특정 매듭이 풀린매듭인지 여부를 결정하는 것은 [[매듭 불변량]] 연구의 주요 원동력이었는데, 이 접근 방식이 [[매듭 이론|매듭 다이어그램]]과 같은 일부 표현에서 매듭을 인식하는 효율적인 알고리즘을 제공할 수 있다고 여겨졌기 때문이다. 이 문제는 [[NP (복잡도)|NP]] 와 [[co-NP]] 모두에 있는 것으로 알려져 있다.

[[플뢰어 호몰로지|매듭 플뢰어 호몰로지]]와 {{임시링크|호바노프 호몰로지|en|Khonanov homology}}는 풀린매듭을 탐지하는 것으로 알려져 있으나 이를 효율적으로 계산할 수 있는 것은 아니다. 존스 다항식 또는 [[유한 유형 불변량]]이 풀린매듭을 감지할 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다.

== 예 ==
엉킨 끈을 풀기 시작했다는 사실이 작업이 가능하다는 것을 증명하더라도 그것을 푸는 방법을 찾는 것은 어려울 수 있다. Thistlethwaite와 Ochiai는 다이어그램의 교차 수를 일시적으로 늘려야 하므로 단순화할 수 있는 분명한 방법이 없는 많은 풀린매듭의 다이어그램의 예를 제공했다.
<gallery>
파일:Thistlethwaite unknot.svg|Thistlethewaite 풀린매듭
파일:Ochiai unknot.svg|오치아이의 풀린매듭 중 하나
</gallery>밧줄은 일반적으로 닫힌 고리의 형태가 아니지만 때로는 끝이 함께 결합되는 것을 상상하여 매듭을 만드는 표준적인 방법이 있다. 이러한 관점에서 볼 때 많은 유용한 실용적인 매듭은 꽁꽁 묶일 수 있는 [[고리 (매듭)|매듭]]을 포함하여 실제로는 풀린매듭이다.<ref name="knotty">{{웹 인용|url=http://www.volkerschatz.com/knots/knots.html|제목=Knotty topics|성=Volker Schatz|보존url=https://web.archive.org/web/20110717230520/http://www.volkerschatz.com/knots/knots.html|보존날짜=2011-07-17|url-status=dead|확인날짜=2007-04-23}}</ref>

모든 매듭은 끝점에서 유니버설 조인트로 연결된 강체 선분의 모음인 [[링크 (기구)|연결]]로 나타낼 수 있다. [[막대 수]]는 매듭을 연결로 나타내는 데 필요한 최소한의 선분 수이며, 붙은 풀린매듭 은 평평한 볼록 다각형으로 재구성할 수 없는 특정 매듭이 없는 연결이다.<ref>{{저널 인용|제목=A new class of stuck unknots in Pol-6|저널=Contributions to Algebra and Geometry|성=Godfried Toussaint|저자링크=Godfried Toussaint|url=http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/b42h2to1.pdf|날짜=2001|권=42|호=2|쪽=301–306|보존url=https://web.archive.org/web/20030512075528/http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/b42h2to1.pdf|보존날짜=2003-05-12}}</ref> 교차 수와 마찬가지로 연결은 단순화되기 전에 선분을 세분화하여 더 복잡하게 만들어야 할 수 있다.

== 불변량 ==
풀린매듭의 [[알렉산더 다항식|알렉산더-콘웨이 다항식]]과 [[존스 다항식]]은 간단하다.

: <math>\Delta(t) = 1,\quad \nabla(z) = 1,\quad V(q) = 1.</math>

10개 이하의 교차 가 있는 다른 매듭은 자명한 알렉산더 다항식을 갖지 않지만 11개의 교차를 갖는 [[기노시타-테라사카 매듭|키노시타-테라사카 매듭]]과 [[콘웨이 매듭]]은 풀린매듭과 동일한 알렉산더 다항식 및 콘웨이 다항식을 갖는다. 임의의 비자명 매듭이 풀린매듭과 동일한 존스 다항식을 갖는지는 미해결 문제이다.

== 같이 보기 ==
* [[매듭 (수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==

* "Unknot", The Knot Atlas. Accessed: May 7, 2013.
* {{매스월드|Unknot}}

[[분류:매듭 이론]]