푸앵카레 재귀정리 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''푸앵카레 재귀정리'''(Poincaré再歸定理, {{llang|fr|Théorème de récurrence de Poincaré}}, {{llang|en|Poincaré recurrence theorem}})란, 특정한 계는 충분한 [[시간]]이 지난 후에는 초기상태와 아주 가까운 상태로 회귀한다는 내용의 정리이다. '''푸앵카레 재귀시간'''(Poincaré recurrence time)은 재귀가 일어날 때까지 걸리는 시간을 뜻한다. [[물리학]]에서는 [[에너지]]가 보존되는 물리적 계에 관해 응용된다. 주로 [[에르고딕 이론]]·[[동역학계]] 이론·[[통계역학]] 등에서 다루어진다.

== 역사 ==
[[앙리 푸앵카레]]가 1890년 논문에서 증명하였다.

== 형식적인 기술 ==
<math>(X,\Sigma,\mu)</math>를 유한 [[측도 공간]], <math>f\colon X\to X</math>를 [[측도보존 동역학계|측도보존 변환]]이라 하자. 그러면 푸앵카레 재귀정리는 아래의 두 가지 판본으로 기술할 수 있다.

=== 정리 1 ===
임의의 <math>E\in \Sigma</math> 에 대하여, <math>f^n(x)\notin E</math>를 모든 <math>n>0</math>에 대해 만족하는 <math>E</math> 의 점 <math>x</math> 들의 집합은 [[영측도]]이다. 즉, <math>E</math> 의 거의 모든 점은 <math>E</math> 로 재귀한다. 나아가 거의 모든 점들은 무한 번 재귀하는데, 이는,

:<math>\mu\left(\{x\in E:\mbox{ there exists } N \mbox{ such that }
f^n(x)\notin E \mbox{ for all } n>N\}\right)=0.</math>
이 성립함을 뜻한다.<ref>{{플래닛매스|urlname=ProofOfPoincareRecurrenceTheorem1|제목=Proof of Poincaré recurrence theorem 1}}</ref>

=== 정리 2 ===
재귀정리의 다른 판본은 [[위상수학]]적인데, 다음과 같다.

만약 <math>X</math> 가 [[제2 가산]] [[하우스도르프 공간]]이고 <math>\Sigma</math> 가 그 [[보렐 집합|보렐 대수]]를 포함한다면, <math>f</math> 의 재귀하지 않는 점들은 영측도이다. 다시 말해, 거의 모든 점들이 재귀한다.<ref>{{플래닛매스|urlname=proofofpoincarerecurrencetheorem2|제목=proof of Poincaré recurrence theorem 2}}</ref>

== 양자역학적 푸앵카레 재귀정리 ==
에너지 준위가 이산적인 [[양자역학적 계]]에 대해서도 비슷한 정리가 성립한다.<ref>{{저널 인용|first=P. |last=Bocchieri |공저자=A. Loinger |title=Quantum Recurrence Theorem |url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1957-07-15_107_2/page/n5 |journal=Physical Review |volume=107 |issue=2 |pages=337–338 |날짜=1957 |doi=10.1103/PhysRev.107.337 |bibcode = 1957PhRv..107..337B |언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용|first=I. C. |last=Percival |title=Almost periodicity and the quantal H theorem |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=2 |issue= 2|pages=235–239 |year=1961 |doi=10.1063/1.1703705 |bibcode = 1961JMP.....2..235P |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first=L. S. |last=Schulman |title=Note on the quantum recurrence theorem |journal=Phys. Rev. |volume=A 18 |issue=5 |pages=2379–2380 |year=1978 |doi=10.1103/PhysRevA.18.2379 |bibcode = 1978PhRvA..18.2379S |언어=en}}</ref> 이는 다음과 같다.

상태 벡터 <math>|\psi(t)\rangle</math>가 초기 상태 <math>|\psi(0)\rangle</math>의 [[시간 변화]]라고 하자. 임의의 허용 오차 <math>\epsilon>0</math>과 <math>T_0>0</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 시간 <math>T</math>가 존재한다.
* <math>T>T_0</math>. 즉, <math>T</math>는 <math>T_0</math> 이후이다.
* <math>\left\| | \psi(T)\rangle - |\psi(0)\rangle\right\| < \epsilon</math>. 즉, 시각 <math>T</math>에서 상태 벡터 <math>\psi(t)</math>는 초기 상태로 오차 <math>\epsilon</math>이내로 돌아온다.

== H 정리와의 관계 ==
[[루트비히 볼츠만]]은 1872년 [[열역학 제2법칙]]을 [[원자론]]적으로 해명하려고 시도하는 [[H 정리]]를 발표하였다. 이에 대하여 [[에른스트 체르멜로]]는 1896년 푸앵카레 재귀정리를 근거로 하여 비판하였으며,<ref>{{서적 인용|저자=藤原邦男|공저자=兵頭俊夫|제목=熱学入門―マクロからミクロへ|출판사=東京大学出版会|날짜=1995-06|장=11章|isbn=4-13-062601-9}}</ref> 이는 그보다 이전인 1876년 [[요한 요제프 로슈미트]]가 비슷한 내용으로 [[로슈미트의 역설]]을 발표하여 비판하였던 것과 관련이 있다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[에르고딕 가설]]
* [[H 정리]]
* [[로슈미트의 역설]]
* [[재귀 주기 밀도 엔트로피]](recurrence period density entropy)
* [[방황 집합]](Wandering set)

[[분류:수학 정리]]
[[분류:물리학 정리]]
[[분류:에르고딕 이론]]
[[분류:통계역학]]