푸앵카레 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''푸엥카레 부등식은'''<ref>{{저널 인용|제목=Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique|저널=American Journal of Mathematics|성=Poincaré|이름=H.|url=http://www.jstor.org/stable/2369620|날짜=1890|권=12|호=3|쪽기타=Equation (11) page 253|doi=10.2307/2369620|issn=0002-9327|jstor=2369620}}</ref> [[프랑스]] [[수학자]] [[앙리 푸앵카레|Henri Poincaré]]의 이름을 딴 [[소볼레프 공간]] 이론이다. 부등식을 통해 함수의 도함수에 대한 유계와 정의역의 기하학을 사용하여 함수에 대한 유계를 얻을 수 있다. 이러한 유계는 변수 미적분의 직접적인 방법 에서 매우 중요하다. 매우 밀접하게 관련된 것은 [[프리드리히 부등식]]이다.

== 명제 ==

=== 고전적 푸앵카레 부등식 ===
1&nbsp;≤&nbsp;''p''&nbsp;<&nbsp;∞ 인 ''p'', 그리고 Ω은 적어도 한 방향으로 유계되는 하위 집합으로 하자. 그런 다음 Ω, ''p'' 에만 종속하는 상수 ''C가'' 존재하므로, [[소볼레프 공간]] ''W''<sub>0</sub><sup>1,''p''</sup>(Ω)의 모든 함수 ''u'' 에 대한 제로 트레이스(a.k.a 경계에서 0) 함수는 다음과 같다.

: <math>\| u \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)}.</math>

=== 푸앵카레-비르팅거 부등식 ===
1&nbsp;≤&nbsp;''p''&nbsp;≤&nbsp;∞ 인 ''p'', 그리고 Ω를 립시츠 경계의 ''n'' [[차원]] [[유클리드 공간]] ℝ <sup>''n''</sup> 의 [[유계 집합|유계]]적이고 [[연결 공간|연결된]] [[열린집합|열린 부분 집합]]이라 하자(즉, Ω는 립시츠 영역). 그런 다음 소볼레프 공간 {{math|''W''<sup>1,''p''</sup>(Ω)}} 의 모든 함수 ''u'' 에 대해 Ω그리고 ''p'' 에만 종속되는 상수 ''C'' 가 존재한다.<math display="block">\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)},</math>여기서<math display="block">u_{\Omega} = \frac{1}{|\Omega|} \int_{\Omega} u(y) \, \mathrm{d} y</math>는 |Ω|과 함께 Ω에 대한 ''u'' 의 평균값이고, 정의역 Ω의 [[르베그 측도]]를 나타낸다. Ω이 공일 때 위의 부등식을 a {{math|(''p'',''p'')}} 푸엥카레 부등식이라고 한다; 보다 일반적인 정의역 Ω의 경우, 위의 식은 소볼레프 부등식으로 더 잘 알려져 있다.

평균값을 빼야 할 필요성은 도함수가 0인 상수 함수를 고려하면 알 수 있지만, 평균을 빼지 않고, 원하는 만큼 함수의 적분을 할 수 있다. 우린 상수함수를 다룰 때 평균값을 빼는 대신, 다른 상황이 있다. 예로 들어, 트레이스 제로를 만족하는, 또는 정의역의 부분집합에서 평균값을 빼는 것과 같은 상황이 있다. 푸엥카레 부등식의 상수 C는 상황에 따라 다를 수 있다. 또한, 함수에 상수 값을 더하면 함수의 적분값을 증가시킬 수 있지만, 도함수의 적분은 동일하게 유지된다고 말하는 것과 같기 때문에 문제는 상수 함수만이 아니다. 따라서 단순히 상수 함수를 제외하는 것으로는 문제가 해결되지는 않는다.

=== 일반화 ===
[[Metric measure space|측도 공간]]의 맥락에서 푸앵카레 부등식의 정의는 약간 다르다. 한 가지 정의는 다음과 같다. 측도 공간은 일부에 대해 <math>1\le q,p<\infty</math>이고 상수 ''C'' 가 있고 {{math|λ ≥ 1}} 이면 공간의 각 공 B에 대해<math display="block">\mu(B)^{-\frac{1}{q}} \left \|u-u_B \right \|_{L^q(B)}\le C \operatorname{rad}(B) \mu(B)^{-\frac{1}{p}} \| \nabla u\|_{L^p(\lambda B)}.</math>
(q,p)-푸앵카레 부등식을 만족한다. 여기 오른쪽에 확대된 공이 있다. 측도 공간의 맥락에서, <math>\|\nabla u\|</math> Heinonen 및 Koskela의 의미에서 u의 최소 p-weak 위쪽 기울기이다.<ref>{{저널 인용|제목=Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry|저널=Acta Mathematica|성=Heinonen|이름=J.|성2=Koskela|이름2=P.|연도=1998|권=181|쪽=1–61|doi=10.1007/BF02392747|issn=1871-2509}}</ref>

공간이 푸앵카레 부등식을 만족하는지 여부는 공간의 기하학 및 분석과 깊은 관련이 있음이 밝혀졌다. 예를 들어, Cheeger는 Poincaré 부등식을 만족하는 배가 공간이 미분의 개념을 허용한다는 것을 보여주었다.<ref>{{저널 인용|제목=Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces|저널=Geometric and Functional Analysis|성=Cheeger|이름=J.|날짜=1 August 1999|권=9|호=3|쪽=428–517|doi=10.1007/s000390050094}}</ref> 이러한 공간에는 하위 리만 다양체 및 Laakso 공간이 포함된다.

다른 Sobolev 공간에 대한 Poincaré 부등식의 다른 일반화가 있다. 예를 들어, Sobolev 공간 ''H'' <sup>1/2</sup> ( '''T''' <sup>2</sup> ), 즉 [[푸리에 변환]] ''û를'' 만족하는 단위 [[원환면|토러스]] '''T''' <sup>2</sup> 의 [[르베그 공간|''L'' <sup>2</sup> 공간]] 에서 함수 ''u'' 의 공간을 고려하자.<math display="block">[u]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^{2})}^2 = \sum_{k \in \mathbf{Z}^2} | k | \left | \hat{u} (k) \right |^2 < + \infty.</math>이러한 맥락에서, Poincaré 부등식은 다음과 같이 말한다: 열린 집합 {{수학|''E'' ⊆ '''T'''<sup>2</sup>}} 에서 ''u가'' 동일하게 0인 모든 {{수학|''u'' ∈ ''H''<sup>1/2</sup>('''T'''<sup>2</sup>)}} 에 대해 다음과 같은 상수 ''C'' 가 존재한다.<math display="block">\int_{\mathbf{T}^2} | u(x) |^2 \, \mathrm{d} x \leq C \left( 1 + \frac1{\operatorname{cap} (E \times \{ 0 \})} \right) [ u ]_{H^{1/2} (\mathbf{T}^2)}^2,</math>여기서 {{수학|cap(''E'' &times; {0})}} {{수학|ℝ<sup>3</sup>}} 의 부분 집합으로 생각할 때 {{수학|''E'' &times; {0}} 의 고조파 용량을 나타낸다.

또 다른 일반화는 르베그 척도가 가중 버전으로 대체되는 가중 푸앵카레 부등식을 포함한다.

== 푸앵카레 상수 ==
Poincaré 부등식의 최적 상수 ''C는'' 때때로 도메인 Ω에 대한 '''Poincaré 상수''' 로 알려져 있다. Poincaré 상수를 결정하는 것은 일반적으로 ''p'' 값과 도메인 Ω의 기하학에 의존하는 매우 어려운 작업이다. 그러나 특정 특수 사례는 다루기 쉽다. 예를 들어, Ω이 [[지름|직경이]] ''d'' 인 [[유계 집합|경계]] [[볼록 집합|가 있는 볼록한]] Lipschitz 도메인인 경우 Poincaré 상수는 {{수학|1=''p'' = 1}} 인 경우 최대 ''d'' /2이다. <math>d/\pi</math> {{수학|1=''p'' = 2}},<ref>{{저널 인용|제목=An optimal Poincaré inequality in ''L''<sup>1</sup> for convex domains|저널=Proc. Amer. Math. Soc.|성=Acosta|이름=Gabriel|성2=Durán|이름2=Ricardo G.|연도=2004|권=132|호=1|쪽=195–202 (electronic)|doi=10.1090/S0002-9939-03-07004-7}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=An optimal Poincaré inequality for convex domains|저널=Archive for Rational Mechanics and Analysis|성=Payne|이름=L. E.|성2=Weinberger|이름2=H. F.|연도=1960|권=5|호=1|쪽=286–292|bibcode=1960ArRMA...5..286P|doi=10.1007/BF00252910|issn=0003-9527}}</ref>에 대해 이것은 직경만의 관점에서 Poincaré 상수에 대한 최상의 추정치이다. 부드러운 함수의 경우 이는 함수의 [[레벨집합|수준 집합]]에 대한 [[등주부등식|등주 부등식]]의 적용으로 이해할 수 있다.<ref>{{웹 인용|url=http://maze5.net/?page_id=790|제목=L1 Poincare Inequality|성=Alger|이름=Nick|보존url=https://web.archive.org/web/20120303090859/http://maze5.net/?page_id=790|보존날짜=March 3, 2012}}</ref> 한 차원에서 이것은 [[비르팅거 부등식 (실함수)|기능에 대한 Wirtinger의 부등식]]이다.

그러나 일부 특수한 경우 상수 ''C를'' 구체적으로 결정할 수 있다. 예를 들어, ''p'' 의 경우&nbsp;=&nbsp;2, 단위 이등변 직각 삼각형의 영역에서 ''C''&nbsp;=&nbsp;1/π(&nbsp;<&nbsp;''d'' /π 여기서 <math>d=\sqrt{2}</math> ).

또한 매끄럽고 제한된 도메인 {{수학|Ω}} 의 경우 공간에서 [[라플라스 연산자]]에 대한 레일리 지수(Rayleigh quotient) <math>W^{1,2}_0(\Omega)</math> 는 (음의) 라플라시안의 최소 고유값 {{수학|λ<sub>1</sub>}} 에 해당하는 고유함수에 의해 최소화되며, 다음과 같은 단순한 결과이다. <math>u\in W^{1,2}_0(\Omega)</math> ,<math display="block"> \|u\|_{L^2}^2\leq \lambda_1^{-1} \left \|\nabla u\right \|_{L^2}^2</math>또한 상수 <sub>λ1</sub> 이 최적이라는 것이다.

== 같이 보기 ==
* [[프리드리히 부등식|프리드리히의 부등식]]
* 콘의 부등식
* 스펙트럼 갭

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:부등식]]
[[분류:해석학 정리]]