푸앵카레 군 문서 원본 보기

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'''푸앵카레 군'''(Poincaré群, {{lang|en|Poincaré group}})은 [[민코프스키 공간]]의 대칭군이다. 공간 [[회전]] 3방향과 [[로런츠 변환]] 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 [[리 군]]을 이룬다. [[앙리 푸앵카레]]의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "{{lang|en|inhomogeneous special orthogonal group}}"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 <math>\mathbb R^4</math>를 추가한 군이다.

== 정의 ==
''d'' 차원 '''푸앵카레 군'''은 [[병진 변환]]의 [[아벨 군]] <math>\mathbb R^d</math>과 [[로런츠 군]] <math>SO(d-1,1)</math>의 [[반직접곱]]이다. 즉,
:<math>\operatorname{ISO}(d-1,1)=\mathbb R^d\rtimes\operatorname{SO}(3,1)</math>
이다. 이때 사용되는 작용은 <math>\operatorname{SO}(d-1,1)</math>의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, <math>M\in\operatorname{SO}(d-1,1)</math>의 <math>v\in\mathbb R^d</math>에 대한 [[군의 작용|작용]]은
:<math>M\colon v\to Mv</math>
이며, <math>Mv</math>는 [[행렬]]로서의 곱셈이다.

== 성질 ==
''d''차원 [[민코프스키 공간]]에서의 푸앵카레 군의 차원은
:<math>\dim\operatorname{ISO}(1,d-1)=d+\frac{d(d-1)}2=d(d+1)/2</math>
이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 [[리 군]]을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 <math>(\Lambda^\mu_\nu,a^\mu)</math>은 [[사차원 벡터]] <math>x^\mu</math>에 다음과 같이 작용한다.
:<math>x^\mu \mapsto x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu </math>.
여기서 <math>\Lambda^\mu_\nu</math>는 임의의 [[로런츠 변환]]이고, <math>a^\mu</math>는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환({{lang|en|translation}})의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 '''푸앵카레 대칭성'''을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 [[민코프스키 공간]]의 내적
:<math>x^\mu x_\mu = x^\mu x^\nu \eta_{\mu \nu} = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2</math>
을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 [[유클리드 군]]({{lang|en|Euclidean group}}, [[유클리드 공간]]의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 <math>a^\mu=0</math>인 경우는 [[로런츠 변환]]이고, 로런츠 변환으로 이루어진 [[리 군]]을 '''로런츠 군'''({{lang|en|Lorentz group}}, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 '''로런츠 대칭성'''({{lang|en|Lorentz symmetry}})이라고 한다.

앞의 변환 <math>x^\mu \to x^{'\mu} = {\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu </math>의 연산자를 <math>(\Lambda,a)</math>라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.
* <math>(\Lambda,a)(M,b) = (\Lambda M, \Lambda b + a) </math>
* <math>(\Lambda,a)^{-1} = (\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1}a) </math>
* <math>[(\Lambda,a)(M,b)](N,c) = (\Lambda,a)[(M,b)(N,c)] </math>

푸앵카레 군의 [[군 표현론]]은 '''[[위그너 분류]]'''라고 불린다.

=== 리 대수 ===
푸앵카레 대칭군의 [[리 대수]]는 다음과 같다.

이것은 [[등각 대칭]]이다.
:<math>[P_\mu, P_\nu] = 0</math>
:<math>[M_{\mu\nu}, P_\rho] = i\left(\eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\right)</math>
:<math>[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = i\left(\eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\right)</math>

== 역사 ==
[[헤르만 민코프스키]]가 1908년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용
|성=Minkowski|이름=Hermann|저자링크=헤르만 민코프스키
|year=1908
|title=[[s:de:Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern|Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern]]
|journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse
|pages=53–111|jfm=39.0909.02|언어=de}}</ref><ref>{{저널 인용
|성=Minkowski|이름=Hermann|저자링크=헤르만 민코프스키
|날짜=1909
|title=[[s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|Raum und Zeit]]
|journal=Physikalische Zeitschrift
|volume=10
|pages=75–88|언어=de}}</ref> [[앙리 푸앵카레]]는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 [[로런츠 군]]이 [[군 (수학)|군]]을 이룬다는 사실을 보였고,<ref>{{저널 인용
|성=Poincaré|이름=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레
|year=1906
|title=[[s:fr:Sur la dynamique de l’électron (juillet)|Sur la dynamique de l’électron]]
|journal=Rendiconti del Circolo matematico di Palermo
|volume=21
|pages=129–176|jfm=37.0886.01|언어=fr}}</ref> 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[유클리드 군]]
* [[위그너 분류]]
* [[파울리-루반스키 벡터]]
* [[입자물리학과 표현론의 관계]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Poincaré group}}
* {{매스월드|id=PoincareGroup|title=Poincaré group}}
* {{매스월드|id=PoincareTransformation|title=Poincaré transformation}}

[[분류:입자물리학]]
[[분류:상대성이론]]
[[분류:리 군]]
[[분류:양자장론]]