푸앵카레-호프 정리 문서 원본 보기

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[[미분위상수학]]에서 '''푸앵카레-호프 정리'''({{llang|en|Poincaré–Hopf theorem}})는 다양체의 [[오일러 지표]]를 다양체 위에 존재하는 "일반적" [[벡터장]]의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다.

== 정의 ==
=== 벡터장의 지표 ===
<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에 [[벡터장]] <math>v</math>를 생각하자. 이 벡터장의 영점(<math>v(x)=0</math>인 <math>x\in M</math>)들이 고립되었다({{lang|en|isolated}})고 하자. 즉, 영점 <math>x\in M</math>에 대하여, <math>x</math>를 포함하고 <math>x</math>와 다른 영점들을 포함하지 않는 [[근방]] <math>D\ni x</math>가 존재한다. 이 근방 <math>D</math>는 항상 닫힌 <math>n</math>차원 [[공 (수학)|공]]과 [[위상동형]]이게 잡을 수 있다. 그렇다면 임의로 [[국소좌표계]]를 잡아, 함수 <math>u_x\colon\partial D\to S^{n-1}</math>를 <math>y\mapsto v(y)/\Vert v(y)\Vert</math>로 정의할 수 있다. 영점<math>x</math>의 '''지표'''({{lang|en|index}}) <math>\operatorname{ind}_x(v)</math>는 함수 <math>u</math>의 [[브라우어르 차수]] <math>\deg u</math>이다. 이는 국소좌표계나 <math>D</math>에 의존하지 않는 값이다.

고립된 영점을 가진 벡터장의 '''지표'''는 그 영점들의 지표들의 합이다. 즉,
:<math>\operatorname{ind}(v)=\sum_x\operatorname{ind}_x(v)=\sum_x\deg u_x</math>

=== 푸앵카레-호프 정리 ===
<math>M</math>이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[가향 다양체]]라고 하자. 그렇다면 <math>M</math>의 [[오일러 지표]]는 <math>M</math> 위에 존재하는 고립된 영점들을 가지는 임의의 벡터장의 지표와 같다.
:<math>\operatorname{ind}(v)=\chi(M)</math>
이 사실을 '''푸앵카레-호프 정리'''라고 한다.

== 예 ==
2차원 [[구 (기하학)|구]]는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 '''털난 공 정리'''({{lang|en|hairy ball theorem}})이라고 하기도 한다. 구 위에 다음과 같이 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 [[원환면]]은 오일어 지표가 0이므로, 다음과 같이 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.
{{갤러리
|파일:Hairy ball one pole.jpg|[[구 (기하학)|구]] 위에, 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장
|파일:Hairy ball.png|구 위에, 지표가 1인 두 개의 영점을 가진 벡터장
|파일:Hairy doughnut.png|원환면 위에, 영점을 가지지 않는 벡터장
}}

== 역사와 어원 ==
[[앙리 푸앵카레]]와 [[하인츠 호프]]의 이름을 땄다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고,<ref>{{저널 인용|이름=Henri|성=Poincaré|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur les courbes définies par les équations différentielles III|저널=Journal de mathematiques pures et appliquées (4<sup>e</sup> série)|권=1|날짜=1885|쪽=167–244|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1885_4_1_A6_0|언어=fr}}{{깨진 링크|url=http://portail.mathdoc.fr/JMPA/afficher_notice.php?id=JMPA_1885_4_1_A6_0 }}</ref> 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Heinz|성=Hopf|저자링크=하인츠 호프|제목=Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen|저널=Mathematische Annalen|권=95|호=1|쪽=340–367|날짜=1926-12|doi=10.1007/BF01206615|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=다양체의 미분위상수학|저자=조용승|위치=[[대한민국]] [[홍천]]|출판사=아르케|isbn=89-88791-11-8|날짜=1999-04-20|url=http://archeweb.com/bbs/zboard.php?id=npo_book&no=32|확인날짜=2013-03-25|보존url=https://web.archive.org/web/20160304122049/http://archeweb.com/bbs/zboard.php?id=npo_book&no=32|보존날짜=2016-03-04|url-status=dead}}

[[분류:미분위상수학 정리]]