푸아송 괄호 문서 원본 보기

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'''푸아송 괄호'''({{llang|en|Poisson bracket}})란 [[해밀턴 역학]]에서 쓰이는 중요한 연산자로, 어떤 [[물리량]]의 시간적 변화를 기술하는 데 중요한 역할을 하고 있다. 좀 더 일반적인 방법으로, 푸아송 괄호는 [[푸아송 다양체]]의 [[푸아송 대수]]를 정의하는 데 쓰인다. 위의 푸아송과 관련된 이름을 가진 것들은 모두 [[프랑스]]의 물리학자이자 수학자인 [[푸아송]]의 이름에서 따온 이름들이다.

== 정의 ==
[[일반화 좌표]] <math>(q_i, \; p_i , \; t)</math>에서, 다음과 같은 두 함수 <math>F(q_i, \; p_i , \; t)</math>, <math>G(q_i, \; p_i , \; t)</math>에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\{ F,\; G \} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} - {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} \right] </math>

몇몇 경우에는 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하기도 하므로 유의하자.<ref>문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 318쪽.</ref>

:<math>\{ F,\; G \} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} - {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} \right] </math>

두 정의의 차이점은 서로 부호가 반대이다는 점 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용하는 것으로 하자.
== 성질 ==
[[일반화 좌표]] <math>(q_i, \; p_i , \; t)</math>에서, 다음과 같은 세 함수 <math>A(q_i, \; p_i , \; t)</math>, <math>B(q_i, \; p_i , \; t)</math>, <math>C(q_i, \; p_i , \; t)</math>에 대해 푸아송 괄호는 다음과 같은 [[반대칭성]]을 가진다.
:<math>\{ A, \; B \} = - \{ B, \; A \}</math>
또한 다음과 같은 [[야코비 항등식]]을 만족한다.
:<math> \{A, \; \{B, \;C\}\}   +  \{B,\; \{C,\; A\}\}   +  \{C,\; \{A,\; B\}\} \ = \ 0</math>
일반화 좌표 <math>q_i</math>와 [[일반화 운동량]] <math>p_i</math>사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립하며
:<math>\{ p_i, \; q_j \} = \delta_{ij}</math>
:<math>\{ p_i, \; p_j \} = \{ q_i, \; q_j \} = 0</math>
함수 <math>A(q_i, \; p_i , \; t)</math>와 일반화 좌표 <math>q_i</math>와 [[일반화 운동량|운동량]] <math>p_i</math>사이의 푸아송 괄호에선 다음과 같은 성질이 성립한다.
:<math>\{ A, \; q_i \} = -{\partial A \over \partial p_i}</math>
:<math>\{ A, \; p_i \} = {\partial A \over \partial q_i}</math>

== 해밀턴 방정식과 푸아송 괄호 ==
푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 [[운동 방정식]]들을 나타낼 수 있다. [[일반화 좌표]] <math>(q_i, \; p_i , \; t)</math>에서의 [[해밀턴 방정식]]
:<math>\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}</math>
:<math>\dot{q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>\dot{p}_i = - \{H, \; p_i \}</math>
:<math>\dot{q}_i = - \{H, \; q_i \}</math>
원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표 <math>q_i</math>와 일반화 운동량 <math>p_i</math>사이에 무언가 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 [[해밀턴 방정식]]에선 <math>q_i</math>와 <math>p_i</math>사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.

== 운동상수와 푸아송 괄호 ==
만약 어떤 동역학적 물리량 <math>F(q_i, \; p_i , \; t)</math>가 [[운동상수]], 즉 보존되는 물리량
:<math>{d F \over dt} = 0</math>
이라면 물리량이 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며
:<math>{\partial F \over \partial t} = 0</math>
해밀토니안 <math>H</math>와 물리량 <math>F</math>의 푸아송 괄호가 0이 되어야 한다.
:<math> \{H,\; F\} = 0</math>
이는, 맨 첫 번째 방정식을 [[연쇄법칙]]을 이용해 전개하고 [[해밀턴 방정식]]을 대입하면 증명할 수 있다.
:<math>\begin{align}
0 & = \frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i) 
\\ & = \sum_i \left[ 
\frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {d q_i}{d t}+
\frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {d p_i}{dt}  \right]
\\ & = \sum_i \left[
 \frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} -
\frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right]
\\ &= 
\{F,\; H\} 
\\ &= -\{ H, \; F \} 
\end{align}</math>

== 물리량의 시간적 변화 ==
어떤 동역학적 물리량 <math>F(q_i, \; p_i , \; t)</math>가 주어졌을 때, [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:<math>\frac {d}{dt} F(q_i, \; p_i \; ,t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[
\frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {dq_i}{dt} + 
\frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {dp_i}{dt} \right]</math>

여기에 [[해밀턴 방정식]] <math>\dot{q}_i={\partial H}/{\partial p_i}</math> 와 <math>\dot{p}_i=-{\partial H}/{\partial q_i}</math>을 대입하면
:<math>\begin{align}
\frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i ,\; t) & = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[
\frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} -
\frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right] 
\\ &= 
\frac{\partial F}{\partial t} -\{H, \; F\}
\end{align} </math>
이 된다. 따라서 물리량 <math>F</math>의 시변(시간변화 부분)은

:<math>\frac{d}{dt} F=
\left(\frac{\partial }{\partial t}  - \{ H, \; \cdot \}\right)F</math>

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 [[연산자]] <math>-\{ H, \; \cdot \}</math>는 [[리우빌리안]]이라 불리기도 한다.

== 같이 보기 ==
* [[푸아송 대수]]
* [[해밀턴 역학]]
* [[교환자]]
* [[라그랑주 괄호]]

== 참고 문헌 ==
* 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 317-9쪽.

== 각주 ==
<references />

[[분류:물리학 개념]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:고전역학]]
[[분류:해밀턴 역학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]