표현 가능 함자 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''표현 가능 함자'''(表現可能函子, {{llang|en|representable functor}})는 어떤 [[요네다 보조정리|요네다 함자]]와 [[자연 동형]]인 [[함자 (수학)|함자]]이다.

== 정의 ==
[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math>에서 집합의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]] <math>F</math>의 '''표현''' <math>(X,\Phi)</math>은 다음과 같은 순서쌍이다.
* <math>X\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상이다.
* <math>\Phi\colon\hom(X,-)\implies F</math>는 [[자연 동형]]이다.
'''표현 가능 함자'''는 적어도 하나의 표현이 존재하는 함자이다.

[[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math>에서 집합의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]] <math>F</math>의 '''보편 원소''' <math>(X,u)</math>는 다음과 같은 순서쌍이다.
* <math>X\in\mathcal C</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상이다.
* <math>u\in F(X)</math>는 다음 조건을 만족시키는 원소이다.
** 임의의 <math>Y\in\mathcal C</math> 및 <math>v\in F(Y)</math>에 대하여, <math>Ff\colon u\mapsto v</math>인 유일한 사상 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다.
함자의 표현들은 그 보편 원소와 [[일대일 대응]]한다. 표현 <math>(X,\Phi)</math>에 대응하는 보편 원소 <math>(X,u)</math>는 다음과 같다.
:<math>u=\Phi_X(\operatorname{id}_X)</math>
반대로, 보편 원소 <math>(X,u)</math>에 대응하는 표현 <math>(X,\Phi)</math>는 다음과 같다.
:<math>\Phi_Y(f)=(Ff)(u)\qquad\forall f\in\hom(X,Y)</math>

== 성질 ==
주어진 함자의 표현들은 (만약 존재한다면) 모두 서로 표준적으로 [[동형]]이다. 즉, <math>F\colon\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>의 두 개의 표현 <math>(X_1,\Phi_1)</math>, <math>(X_2,\Phi_2)</math>에 대하여,
:<math>\Phi_1^{-1}\circ\Phi_2=\hom(\phi,-)</math>
인 유일한 <math>\phi\in\hom(X_1,X_2)</math>가 존재한다.

== 예 ==
<math>\mathcal P\colon\operatorname{Set}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>가 집합을 그 [[멱집합]]으로 대응시키고, 함수를 그 역함수 <math>f^{-1}\colon S\mapsto \{x\colon f(x)\in S\}</math>로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 <math>(X,u)=(\{0,1\},\{1\})</math>은 보편 원소를 이룬다.

[[대수 구조 다양체]]의 범주 <math>\mathcal V</math>의 경우, 항상 망각 함자 <math>F\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}</math> 및 그 [[수반 함자]]인 자유 함자 <math>G\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V</math>가 존재한다. 이 경우, 보편 원소는 <math>(G(\{\bullet\}),\bullet)</math>이 된다. 여기서 <math>\{\bullet\}</math>은 크기가 1인 임의의 집합이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>의 망각 함자 <math>F\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>의 보편 원소는 <math>(\{\bullet\},\bullet)</math>이다. 여기서 <math>\{\bullet\}</math>은 [[한원소 공간]]이다.

[[점을 가진 공간]]의 호모토피 범주에서 [[점을 가진 집합]]의 [[반대 범주]]로 가는 함자들의 표현 가능성은 [[브라운 표현 정리]]에 의하여 주어진다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Representable functor}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/representable+functor|제목=Representable functor|웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[요네다 보조정리]]
* [[부분 대상 분류자]]
* [[모듈라이 공간]]

{{전거 통제}}

[[분류:함자]]