표준 편차 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:standard deviation diagram.svg|325px|섬네일|각 밴드의 너비가 1 표준편차인 [[정규분포]]의 구상. [[68-95-99.7 규칙]] 참고.]]
[[파일:Normal-distribution-cumulative-density-function.svg|섬네일|right|예측값 0과 표준편차 1을 나타낸 정규분포의 누적 확률.]]
'''표준 편차'''(標準 偏差, {{llang|en|standard deviation}}, '''SD''')는 통계집단의 [[분산]]의 정도 또는 자료의 [[산포도]]를 나타내는 수치로, [[분산]]의 음이 아닌 [[제곱근]] 즉, 분산을 제곱근한 것으로 정의된다. 표준편차가 작을수록 평균값에서 변량들의 거리가 가깝다.<ref>{{서적 인용|저자1=이재기|저자2=최석근|저자3=박경식|저자4=정성혁|제목=측량학1|출판사=형설출판사|판=2|날짜=2013|ISBN=978-89-472-7336-7|쪽=76-77}}</ref> [[통계학]]과 [[확률]]에서 주로 확률의 분포, [[확률변수]] 혹은 측정된 인구나 [[중복집합]]에 적용된다. 관례에 따라 모집단은 [[그리스문자|그리스 문자]]로, 표본은 [[영어]] [[알파벳]]으로 표기하는데, [[모집단]]의 표준편차는 <math>\sigma</math>(시그마)로, [[표본]]의 표준편차는 <math>s</math>(에스)로 나타낸다.<ref name=":0">{{웹 인용|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/probability-statistics-symbols/|title=List of Probability and Statistics Symbols|date=26 April 2020|website=Math Vault|language=en-US|access-date=21 August 2020}}</ref>

[[편차]](deviation)는 [[관측값]]에서 [[평균]] 또는 [[중앙값]]을 뺀 것이다.

[[분산]](variance)은 관측값에서 평균을 뺀 값을 [[제곱]]하고, 그것을 모두 더한 후 전체 개수로 나눠서 구한다. 즉, 차잇값의 제곱의 평균이다. 관측값에서 평균을 뺀 값인 편차를 모두 더하면 <math>0</math>이 나오므로 제곱해서 더한다.

표준편차(standard deviation)는 분산을 [[제곱근]]한 것이다. 편차들(deviations)의 [[제곱합]](SS, sum of square)에서 얻어진 값의 평균치인 분산의 성질로부터 다시 제곱근해서 원래 단위로 만들어줌으로써 얻게된다.

모표준편차(population standard deviation) <math>\sigma</math>는 모집단의 표준편차이다. 모분산 <math>\sigma^2</math>에 제곱근을 씌워서 구한다.

표본표준편차(sample standard deviation) <math>s</math>는 표본의 표준편차이다. 표본분산 <math>s^2</math>에 제곱근을 씌워서 구한다.

== 정의 ==
[[확률 변수|확률변수]] <math>X</math>의 [[기댓값]] <math>\operatorname{E}(X)</math>를 <math>\mu</math>라 하자. 이 때 [[모집단]] <math>X</math>의 표준편차 <math>\sigma_X</math>는 다음과 같이 정의한다.<ref>{{서적 인용|제목=수리통계학|성=송성주, 전명식|출판사=자유아카데미|쪽=57}}</ref>

: <math>\begin{align}
  \sigma &= \sqrt{\operatorname E \left((X - \mu)^2\right)} \\
         &= \sqrt{\operatorname E \left(X^2\right) + \operatorname E(-2\mu X) + \operatorname E\left(\mu^2\right)} \\
         &= \sqrt{\operatorname E \left(X^2\right) - 2 \mu \operatorname E(X) + \mu^2}\\
         &= \sqrt{\operatorname E \left(X^2\right) - 2 \mu^2 + \mu^2}\\
         &= \sqrt{\operatorname E \left(X^2\right) - \mu^2}\\
         &= \sqrt{\operatorname E \left(X^2\right) - (\operatorname E (X))^2}
\end{align}</math>

유도과정에서 [[기댓값#성질|기댓값의 성질]]이 사용되었다. 표준편차는 [[분산]]의 제곱근과 같은 의미를 가진다.

== 통계적 추정 ==
=== 동일 경중률인 경우 ===
[[경중률]]이 동일한 경우 표본 내의 어떤 변인 <math>x</math>가 가지는 [[모집단]]에서 표본(sample)의 표준편차의 추정치 <math>s</math>는 다음과 같다.
:<math>s = \pm \sqrt{\frac{\sum(x-\overline{x})^2}{n-1}}= \pm \sqrt{\frac{\sum \nu^2}{n-1}}</math>
:<math>s</math>: 표본의 표준편차
:<math>x</math>: 변인
:<math>\overline{x}</math>: 표본의 평균
:<math>n</math>: 표본의 크기
:<math>\nu</math>: [[잔차]]
분모를 <math>n - 1</math>로 나누는 이유는 분산을 계산할 때 모평균이 아닌 표본평균을 사용했기 때문에 모집단의 [[편의 추정량]](biased estimator)이 되므로, 분산이 [[불편 추정량]](unbiased estimator)이 되도록 하기 위해서이다.<ref name="lee77">{{서적 인용|저자1=이재기|저자2=최석근|저자3=박경식|저자4=정성혁|제목=측량학1|출판사=형설출판사|판=2|날짜=2013|ISBN=978-89-472-7336-7|쪽=77}}</ref> <math>n - 1</math>을 [[자유도 (통계학)|자유도]](degree of freedom)라고 본다.<ref>{{서적 인용|저자1=이재기|저자2=최석근|저자3=박경식|저자4=정성혁|제목=측량학1|출판사=형설출판사|판=2|날짜=2013|ISBN=978-89-472-7336-7|쪽=76}}</ref>

=== 경중률이 다른 경우 ===
[[경중률]]을 <math>w</math>라 할 때, <math>\sum w=n</math>인 경우에는 표본표준편차 <math>s</math>를 다음과 같이 구한다.<ref name="lee77"/>
:<math>s = \pm \sqrt{\frac{\sum w(x-\overline{x})^2}{n-1}}= \pm \sqrt{\frac{\sum w\nu ^2}{n-1}}</math>

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[편차]]
* [[표준 점수]]
* [[평균편차]]
* [[68-95-99.7 규칙]](경험적인 규칙)
* [[표준오차]]
* [[절대편차]]
* [[공분산]]
* [[변이 가설]] (variability hypothesis)
* [[분산]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{기술적 분석}}
{{통계학}}
{{전거 통제}}
{{토막글|통계학}}

[[분류:통계량]]
[[분류:통계학 용어]]