표준 오차 문서 원본 보기

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'''표준 오차'''(標準誤差, {{llang|en|standard error, '''SE'''}})는 [[통계]]의 [[표본 분포]]의 [[표준 편차]]이다.<ref>Everitt, B.S. (2003) ''The Cambridge Dictionary of Statistics'', CUP. {{ISBN|0-521-81099-X}}</ref> '''평균의 표준 오차'''(平均- 標準誤差, {{llang|en|standard error of the mean, '''SEM'''}})는 [[표본평균의 분포|표본 평균 분포]]의 표준 편차를 가리킨다. 표준오차는 단관측에 대한 표준편차를 <math>\sqrt{n}</math>로 나눈 것과 같다. <math>\bar x</math>를 표본 평균, ν를 [[잔차]]라 할 때,
:<math>\sigma =\pm \sqrt{\frac{\Sigma (x-\bar x)^2}{n(n-1)}}=\pm \sqrt{\frac{\Sigma \nu^2}{n(n-1)}}</math>
만일 [[경중률]]이 다르다면 다음과 같이 계산한다. 경중률을 w라 할 때,<ref>{{서적 인용|저자1=이재기|저자2=최석근|저자3=박경식|저자4=정성혁|제목=측량학1|출판사=형설출판사|판=2|날짜=2013|ibsn=978-89-472-7336-7|쪽=78-79}}</ref>
:<math>\sigma =\pm \sqrt{\frac{\Sigma w(x-\bar x)^2}{(\Sigma w)(n-1)}}=\pm \sqrt{\frac{\Sigma w\nu ^2}{(\Sigma w)(n-1)}}</math>
[[모 평균]]에 대한 표준 오차(standard error of the mean, SEM)는
:<math>{\sigma}_\bar{x}\ = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>이다.

σ는 모집단 [[표준편차]](standard deviation), n은 [[모집단]]의 크기


<math>{\sigma}_\bar{x}\ \approx \frac{s}{\sqrt{n}}</math>

[[표본 표준 편차]] s를 이용하여 근사값으로 구하기


<math>\text{s}_\bar{x}\ = \frac{s}{\sqrt{n}}</math>
:s는 [[표본]]의 [[표준편차]](standard deviation), n은 [[표본]]의 크기

[[표본 평균]]에 대한 [[표준 편차]]는 [[표본 평균]]의 [[오차]]에 대한 [[표준 편차]]와 동일하다. 이러한 맥락은 [[중심극한정리]](CLT)를 의미한다.

==중심극한정리의 예==
모집단에서 취한 표본 평균값의 분포는 표본 수가 커질수록 평균값을 중심으로 하는 정규 분포에 가까워진다고하는 중심극한정리(中心極限定理)의 예는
다음과 같다.

[[표준편차]]의 정의에 의해서 [[확률변수]] <math>X</math>의 [[모 집단]]의 표준 편차 <math>\sigma_X</math>가
:<math>\sigma_X = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} </math> 일때

[[분산]]의 정의에 의해서 확률변수 <math>X</math>의 [[기댓값]](혹은 평균) <math>\mu = \operatorname{E}(X)</math> 일 때, 분산 <math>\operatorname{var}(X)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{var}(X) = \operatorname{E}((X - \mu)^2)</math>
따라서 [[표본 평균]](sample mean) <math> \overline{X} </math>는
:<math>  \sigma^{2}_{X} =\operatorname{E}\left(\left(\overline{X}-\operatorname{E}\left(\overline{X}\right)\right)^2\right)</math>
<!-- :<math>  \sigma^{2}_{X} =var\left(\overline{X}\right)</math>
 :<math>  \sigma^{2}_{X} =var\left(  {{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots+X_{n}}\over{n}}  \right)</math>  -->
:<math> var\left(\overline{X}\right) =  \sigma^{2}_{X} </math>
:<math>  var\left(  {{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots+X_{n}}\over{n}}  \right) = \sigma^{2}_{X} </math>
:<math>  var \left(   {{1}\over{n}} \left( X_{1}+ X_{2}+X_{3}+\cdots+X_{n}  \right)  \right) = \sigma^{2}_{X} </math>
:<math>  {{1}\over{n}} \left( var \left(   {{1}\over{n}} \left( X_{1}+ X_{2}+X_{3}+\cdots+X_{n}  \right)  \right) \right) =  {{1}\over{n}} \left( \sigma^{2}_{X} \right)</math>
:<math>  {{1}\over{n^{2}}} \left( var \left(   X_{1}+ X_{2}+X_{3}+\cdots+X_{n}  \right)  \right)  =  {{\sigma^{2}_{X}}\over {n}}</math>
:<math>  {{1}\over{n^{2}}} \left( var (X_{1})+ var(X_{2})+var(X_{3})+\cdots+var(X_{n} )    \right)  =  {{\sigma^{2}_{X}}\over {n}}</math>
:<math>   {{1}\over{n^{2}}} var (X_{1})+{{1}\over{n^{2}}} var(X_{2})+ {{1}\over{n^{2}}}var(X_{3})+\cdots+ {{1}\over{n^{2}}}var(X_{n})     =  {{\sigma^{2}_{X}}\over {n}}</math>
:<math>   {{1}\over{n^{2}}}  \sigma^{2}_{X} +{{1}\over{n^{2}}} \sigma^{2}_{X} + {{1}\over{n^{2}}}  \sigma^{2}_{X}+\cdots+ {{1}\over{n^{2}}}  \sigma^{2}_{X}      =  {{\sigma^{2}_{X}}\over {n}}</math>
:<math>  \left( {{1+1+1+\cdots+1}\over{n^{2}}} \right)  \sigma^{2}_{X}  =  {{\sigma^{2}_{X}}\over {n}}</math>
:<math>   {{n}\over{n^{2}}}  \sigma^{2}_{X}     =  {{\sigma^{2}_{X}}\over {n}}</math>
:<math>   {{1}\over{n}}  \sigma^{2}_{X}     =    {{1}\over{n}}  \sigma^{2}_{X} </math>
:<math>   \sigma^{2}_{X}     =    \sigma^{2}_{X} </math>

== 같이 보기 ==
* [[변동 계수]]
* [[표본 평균의 분포]]
* [[Z검정]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{토막글|수학}}

[[분류:통계 분석]]