표준 선다발 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''표준 선다발'''(標準線다발, {{llang|en|canonical line bundle}}) 또는 '''표준 선속'''(標準線束)은 [[켈러 미분]]의 층의 최고차 [[외대수|외부 거듭제곱]]이다.

== 정의 ==
대수적으로 닫힌 체 위의 <math>n</math>차원 [[비특이 대수다양체]] <math>X</math>의 '''표준 선다발''' <math>\omega_X</math>은 다음과 같은 [[가역층]]이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|180–181}}
:<math>\omega_X=\bigwedge^n\Omega_{X/k}</math>
여기서 <math>\Omega_{X/k}</math>는 [[켈러 미분]]층이다. 표준 선다발에 대응하는 [[인자 (대수기하학)|인자류]]를 '''표준류'''(標準類, {{llang|en|canonical class}})라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 '''표준 인자'''(標準因子, {{llang|en|canonical divisor}}) <math>K_X</math>라고 한다.

만약 <math>X</math>가 특이점을 가지지만 [[정규 대수다양체]]인 경우, 매끄러운 궤적({{llang|en|smooth locus}}) <math>U\subset X</math>가 존재한다. 이 경우, <math>X</math>의 표준 인자는 <math>U</math>의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, <math>X</math>가 S<sub>2</sub> 조건(여차원 2까지 [[코언-매콜리 환|코언-매콜리 조건]]이 성립)을 만족시키며 [[고런스틴 환|고런스틴 스킴]]이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 '''반표준 선다발'''(反標準線다발, {{llang|en|anticanonical line bundle}}) <math>\omega_X^{-1}</math>이라고 한다.  '''반표준류'''(反標準類, {{llang|en|anticanonical class}}) 및 '''반표준 인자'''(反標準因子, {{llang|en|anticanonical divisor}})는 이에 대응하는 인자(류)이다.

== 첨가 공식 ==
'''첨가 공식'''(添加公式, {{llang|en|adjunction formula}})은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

[[비특이 대수다양체]] <math>X</math> 위의 인자 <math>D</math>에 대하여, 다음과 같은 '''첨가 공식'''이 성립한다.
:<math>K_D = (K_X+D)|_D</math>
즉, 선다발로는 다음과 같다. <math>D</math>로 정의되는 부분다양체를 <math>Y</math>, 매장 사상을 <math>\iota\colon Y\hookrightarrow X</math>라고 하면, 다음과 같다.
:<math>\mathcal K_Y=\iota^*(\mathcal K_X\otimes\mathcal O(D))</math>

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 <math>X</math>의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 <math>\iota\colon Y\hookrightarrow X</math>가 주어졌고, 이에 대응하는 [[아이디얼 층]]이 <math>\mathcal I</math>라고 하자. 이 경우, <math>\mathcal I/\mathcal I^2</math>는 <math>Y</math>의 [[자리스키 접공간|자리스키 쌍대법다발]]이다. 이 경우, 다음과 같은 [[아벨 군]] [[층 (수학)|층]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|182}}
:<math>0\to\mathcal I/\mathcal I^2\to\iota^*T^*X\to T^*Y\to 0</math>
여기서 <math>T^*</math>는 [[공변접다발]]이다. 완전열의 모든 항에 최고차 [[외대수|외부 거듭제곱]]을 취하면, 다음을 얻는다.<ref>{{서적 인용 |last1=Griffiths |first1=Philip |저자링크=필립 오거스터스 그리피스 |last2=Harris |first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | series=Wiley Classics Library | publisher= Wiley | 날짜=1994-08 | isbn=978-0-471-05059-9 | doi=10.1002/9781118032527|판=2|zbl=0836.14001|mr=1288523 |언어=en }}</ref>{{rp|146–147}}<ref name="Hartshorne"/>{{rp|182, Proposition II.8.20}}
:<math>\mathcal K_Y=\iota^*\mathcal K_X\otimes\left(\det(\mathcal I/\mathcal I^2)\right)^\vee</math>
여기서 <math>(-)^\vee</math>는 쌍대 다발을 뜻한다.

== 예 ==
복소수체 위의 <math>n</math>차원 [[비특이 대수다양체]]의 경우, 표준 선다발은 '''행렬식 다발'''({{llang|en|determinant bundle}})이라고 하며, <math>n</math>차 [[정칙함수|정칙]] [[미분 형식]]들의 [[선다발]]이다. ([[단일 연결]]) [[칼라비-야우 다양체]]의 경우, 표준 선다발은 자명하다. [[파노 다양체]]의 경우, 반표준 선다발은 [[풍부한 선다발]]이다.

=== 리만 곡면의 표준 선다발 ===
[[리만 곡면]](=1차원 복소수 비특이 대수다양체) <math>C</math> 위의 표준 선다발은 정칙 [[공변접다발]] <math>\Omega_C</math>와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.
:<math>\deg\omega_C=2g-2=-\chi(C)</math>
특히, <math>g\ge2</math>인 경우 이는 [[효과적 인자]]를 이룬다. 이 경우, <math>\omega_C</math>의 <math>g</math>개의 단면들은 [[유리 사상]] <math>C\to\mathbb{P}_{\mathbb C}^{g-1}</math>을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 '''표준 곡선'''({{llang|en|canonical curve}})이라고 한다.

만약 <math>C</math>가 [[초타원 곡선]]일 경우, 그 표준 곡선은 [[유리 곡선]]이며, 유리 사상은 두 겹 [[피복 공간]]을 이룬다. 예를 들어, <math>C</math>의 종수가 2이며, <math>C</math>가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.
:<math>y^2=P(x)</math>
여기서 <math>P</math>는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 [[복소수 미분 형식]])은 다음과 같이 두 개가 있다.
:<math>\frac1{\sqrt{P(x)}}\,dx,\;\frac x{\sqrt{P(x)}}\,dx</math>
이에 따라서, 표준 곡선은
:<math>(x,y)\mapsto x\in\mathbb{P}_{\mathbb C}^1</math>
임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 [[피복 공간]]이다.

만약 <math>C</math>가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, <math>C</math>의 표준 곡선은 <math>C</math>와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.
* 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
* 종수 4인 경우, 표준 곡선은 [[2차 곡면]]과 3차 곡면의 교집합이다.
* 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 [[2차 초곡면]]의 교집합이다.

=== 사영 공간 ===
대수적으로 닫힌 체 <math>K</math> 위의 사영 공간 <math>\mathbb P_K^n</math>에 대하여, 다음과 같은 [[짧은 완전열]]이 존재한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|176, Theorem II.8.13}} 이를 '''오일러 완전열'''이라고 한다.
:<math>0\to\Omega_{\mathbb P_K^n}^1\to\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(-1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(0)\to0</math>
모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|182, Example II.8.20.1}}
:<math>\omega_{\mathbb P_K^n}=\mathcal O_{\mathbb P_K^n}(-n-1)</math>

=== 사영 공간 속의 초곡면 ===
<math>n</math>차원 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n</math> 속에서, [[동차다항식]]들 <math>P_i</math>으로 정의되는 [[초곡면]] <math>Y_i\hookrightarrow\mathbb P^n</math>들의 완전 교차({{llang|en|complete intersection}})
:<math>Y=\bigcap_{i=1}^{\operatorname{codim}Y}Y_i</math>
를 생각하자. 이 경우,
:<math>\omega_{\mathbb P^n}=\mathcal O(-n-1)</math>
:<math>\mathcal O(Y_i)=\deg P_i</math>
이므로, 첨가 공식에 따라서 <math>Y</math>의 표준 선다발은 다음과 같다.
:<math>\omega_Y=\mathcal O\left(\sum_i\deg P_i-n-1\right)</math>
만약
:<math>\sum_i\deg P_i=n+1</math>
이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) <math>Y</math>는 [[칼라비-야우 다양체]]를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 <math>d</math>차 대수 곡선 <math>C\subset\mathbb P^2</math>의 표준 선다발은 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3}}
:<math>\omega_C=\mathcal O(d-3)</math>
<math>d</math>차 평면 대수 곡선의 경우
:<math>\deg\mathcal O(1)=d</math>
이므로,
:<math>\deg\omega_C=d(d-3)</math>
이다. [[리만-로흐 정리]]에 따라서
:<math>\deg\omega_C=2g-2=-\chi(\Sigma)</math>
이므로, 다음과 같은 '''종수-차수 공식'''(種數次數公式, {{llang|en|genus–degree formula}})을 얻는다.
:<math>g=\frac12(d-1)(d-2)</math>

=== 이차 곡면 위의 곡선의 종수 ===
첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 <math>\mathbb P^1\times\mathbb P^1</math> 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|362, Example V.1.5.2}} 곡선 <math>C</math>의 차수가 <math>(d_1,d_2)</math>라고 하자. <math>\mathbb P^1\times\mathbb P^1</math>의 표준 선다발의 차수는 <math>(-2,-2)</math>이다. 즉, <math>C</math>의 차수는 <math>(d_1-2,d_2-2)</math>와 <math>(d_1,d_2)</math>의 [[교차곱]]이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|361, Example V.1.4.3}}
:<math>(a,b).(c,d)=ad+bc</math>
따라서, 다음이 성립한다.
:<math>2g-2=d_1(d_2-2)+d_2(d_1-2)</math>
즉,
:<math>g=d_1d_2-d_1-d_2+1</math>
이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 같이 보기 ==
* [[리만-로흐 정리]]
* [[복소수 미분 형식]]
* [[인자 (대수기하학)]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Canonical class}}
* {{eom|title=Canonical curve}}
* {{eom|title=Canonical imbedding}}
* {{eom|title=Adjunction theory}}
* {{eom|title=Noether-Enriques theorem}}
* {{매스월드|id=CanonicalBundle|title=Canonical bundle}}
* {{nlab|id=canonical bundle|title=Canonical bundle}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/35736/the-canonical-line-bundle-of-a-normal-variety/46663|제목=The canonical line bundle of a normal variety|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:벡터 다발]]
[[분류:대수기하학]]