폴랴코프 작용 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{끈 이론}}
'''폴랴코프 작용'''({{llang|en|Polyakov action}})은 [[보손 끈 이론|보손 끈]]을 [[비선형 시그마 모형]]으로 나타내는 [[작용 (물리학)|작용]]이다. [[난부-고토 작용]]과 고전적으로 동일하나, [[양자화 (물리학)|양자화]]가 수월하다.

== 정의 ==
[[목표 공간]](target space)의 좌표는 <math>X^\mu</math>로, 끈의 [[세계면]]의 좌표는 <math>\xi^\alpha</math>로 쓰자. 목표 공간의 [[계량 텐서]]를 <math>g_{\mu\nu}</math>로 쓰자. 끈의 장력을 <math>T=1/2\pi\alpha'</math>로 쓰자.
폴랴코프 작용은 세계면의 계량 텐서 <math>h_{\alpha\beta}</math>와 세계면 좌표에서 목표 공간으로의 매장 (embedding) <math>X^\mu(\xi^\alpha)</math>에 대한 [[범함수]]로, 다음과 같다.
:<math>S_\text{Polyakov}[h_{\alpha\beta},X^\mu]=-\frac12T\int\mathrm d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}X^\mu_{,\alpha}X^\nu_{,\beta}</math>.

== 대칭 ==
폴랴코프 작용은 다음과 같은 세 대칭을 지닌다.
* 목표 공간의 [[로런츠 대칭]] (목표 공간이 [[민코프스키 공간]]인 경우)
* 세계면 위의 [[미분동형사상]] 불변성
* [[바일 변환|바일 불변성]]
이 가운데 로런츠 대칭을 제외한 나머지 두 대칭은 [[게이지 대칭]]이다. 즉, 물리적인 의미를 갖지 않는다.

게이지 대칭을 고정시켜 세계면 계량 텐서를
:<math>h_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}
-1&0\\0&1
\end{pmatrix}</math>
의 꼴로 놓을 수 있다. 이 게이지 조건을 '''등각 게이지 조건'''({{lang|en|conformal gauge condition}})이라고 한다. 등각 게이지에서 폴랴코프 작용은 다음과 같다.
:<math>S=\frac12T\int\mathrm d^2\xi\;g_{\mu\nu}(\dot X^\mu\dot X^\nu-X'^\mu X'^\nu)</math>.
여기서 <math>\dot A=\partial A/\partial\sigma^0</math>, <math>A'=\partial A/\partial\sigma^1</math>이다.

== 운동 방정식 ==
등각 게이지 폴랴코프 작용의 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 다음과 같이 단순한 [[파동 방정식]]이다.
:<math>(\ddot X-X'')^\mu=0.</math>
여기에 게이지 고정을 위한 구속 조건({{lang|en|constraint}})을 부여하여야 한다. [[보조장]] <math>h_{\alpha\beta}</math>에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.
:<math>0=\frac1{\sqrt{-h}}\frac\delta{\delta h^{\alpha\beta}}\sqrt{-h}h^{\gamma\delta}X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}=
X_{,\alpha}\cdot X_{,\beta}-\frac12
X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}h^{\gamma\delta}h_{\alpha\beta}</math>.
등각 게이지에서는 이는 다음과 같다.
:<math>0=\dot X^2+X'^2</math>
:<math>0=\dot X\cdot X'</math>.
이들은 [[에너지-운동량 텐서]] <math>T</math>가 사라지는 것과 동등하며, 이를 방식 전개하면 [[비라소로 대수]]를 얻는다. 이는 양자화한 뒤 (연산자 순서에 대한 모호함을 제외하고는) 실재하는 상태에 대한 구속으로 적용하여야 한다.

== 폴랴코프 경로 적분 ==
고전적 폴랴코프 작용을 양자화하려면 [[경로 적분]]에 넣어야 한다. 이를 '''폴랴코프 경로 적분'''({{lang|en|Polyakov path integral}})이라고 한다. 즉 ([[윅 회전]]을 하면) 그 [[분배 함수|분배 범함수]]는 다음과 같다.
:<math>Z=\int dX\;dh\;\exp(-S[X,h])</math>
여기서 <math>S[X,g]</math>는 좌표(<math>X</math>)와 세계면 계량 텐서(<math>h</math>)에 따르는 (유클리드) 폴랴코프 작용이다. 그러나 이는 미분동형사상 및 바일 변환이라는 게이지 대칭을 지니므로, 게이지를 고정시켜야 한다. 예를 들어 등각 게이지를 적용하여 (국소적으로) 계량 텐서를 [[단위행렬]](<math>h_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}</math>)로 놓자. 게이지를 고정시키면 이에 따라 파데예프-포포프 유령장이 생기는데, 그 작용은 다음과 같다.
:<math>S_g=\frac1{4\pi}\int d^2z\;b^{ab}(\partial_ac_b+\partial_bc_a-g_{ab}\partial_ca^c)</math>
여기서 <math>c^a</math>는 벡터 유령, <math>b^{ab}</math>는 무(無)대각합 대칭텐서 유령이다. 이를 '''<math>bc</math> 계'''({{lang|en|<math>bc</math> system}})이라고 하며, 보존 끈의 임계 차원(D=26)의 계산에 중요한 역할을 한다. (대략, 바일 [[변칙 (물리학)|변칙]]을 없애기 위하여 적절한 수의 실재하는 마당 <math>X</math>로 <math>bc</math> 계의 비라소로 중앙원소를 상쇄하여야 한다.) 반면 초끈의 경우는 보존 끈의 게이지 대칭 밖에 [[초대칭]]이 있으므로, 이에 해당하는 유령인 '''<math>\beta\gamma</math> 계'''가 필요하다. 이에 따라 초끈의 임계 차원은 D=10이다.

== 역사 ==
폴랴코프 작용은 라르스 브링크 (Lars Brink), 파올로 디베키아 (Paolo Di Vecchia), 폴 호 (Paul S. Howe)<ref>{{저널 인용|저자=Lars Brink, Paolo Di Vecchia, Paul S. Howe|제목=A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string|저널=Physics Letters B|권=65|호=5|쪽=471471–474|날짜=1976년 12월 20일|doi=10.1016/0370-2693(76)90445-7}}</ref>, [[스탠리 데서]] (Stanley Deser), [[브루노 추미노]]<ref>{{저널 인용|이름=Stanley|성=Deser|공저자=[[브루노 추미노|Bruno Zumino]]|날짜=1976년 12월 6일|제목=A complete action for the spinning string|저널=Physics Letters B|권=65|호=4|쪽=369–373|doi=10.1016/0370-2693(76)90245-8}}</ref> 가 1976년에 도입하였다. [[알렉산드르 마르코비치 폴랴코프]]가 이를 이용한 [[경로 적분]]을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Alexander M.|성=Polyakov|저자링크=알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|제목=Quantum geometry of bosonic strings|저널=Physics Letters B|권=103|호=3|날짜=1981년 7월 23일|쪽=207–210|doi=10.1016/0370-2693(81)90743-7}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Alexander M.|성=Polyakov|저자링크=알렉산드르 마르코비치 폴랴코프|날짜=1981년 7월 23일|제목=Quantum geometry of fermionic strings|저널=Physics Letters B|권=103|호=3|쪽=211–213|doi=10.1016/0370-2693(81)90744-9}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[D-막]]
* [[아인슈타인-힐베르트 작용]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:끈 이론]]
[[분류:등각 장론]]