폰 망골트 함수 문서 원본 보기

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'''폰 망골트 함수'''({{lang|en|von Mangoldt function}})는 [[수론적 함수]]의 하나로, 독일 수학자 [[한스 폰 망골트]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
보통 <math>\Lambda(n)</math>으로 표현하는 함수로서 다음과 같이 정의한다.
* n이 어느 소수 <math>p</math>의 거듭제곱일 경우 <math>\Lambda(n) = \log p</math>
* 나머지 경우 <math>\Lambda(n) = 0</math>

== 성질 ==
폰 망골트 함수는 [[수론적 함수]]이면서 [[곱셈적 함수]]가 아닌 예로 종종 등장한다.

[[산술의 기본 정리]] 때문에 다음이 성립한다.
:<math>\log n  = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,</math>
또한, [[체비쇼프 함수]](Chebyshev function)는 망골트 함수를 이용하여 간단하게 정의할 수 있다. 즉,
:<math>\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).</math>
다음과 같이 [[뫼비우스 함수]](Möbius function)와도 관련이 있다.
:<math>\sum_{d|n} \mu \left(\frac{n}{d}\right) \log d = \Lambda(n)</math>

== 디리클레 급수와의 관계 ==
리만 제타 함수의 로그는 다음과 같은 [[디리클레 급수]]로 표현할 수 있다.
:<math>\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}</math>
마찬가지로 리만 제타 함수의 로그 도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.
:<math>\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.</math>

== 같이 보기 ==
* [[소수 계량 함수]]

[[분류:수론]]
[[분류:수론적 함수]]