폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 문서 원본 보기

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[[수리논리학]]에서 '''폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론'''({{llang|en|von Neumann–Bernays–Gödel set theory}}, 약자 '''NBG''')은 [[모임 (집합론)|모임]]을 다루는 [[공리적 집합론]]의 하나이다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]](ZFC)의 [[보존적 확장]]이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 [[동치]]다. 또한, ZFC와 달리 유한 공리화 가능(finitely axiomatizable)하다.

ZFC와는 달리 NBG는 [[모임 (집합론)|모임]]을 직접적으로 다루며, 특히 모든 [[집합]]의 [[고유 모임]]이나 모든 [[순서수]]의 [[고유 모임]] 등을 이론 밖으로 나가지 않고 정의할 수 있다. 모임을 정의하는 논리식의 모든 한정 기호의 범위는 집합에 국한되어야 한다. 이때 모든 집합론의 논리식들은 두 종류의 [[원자 논리식]](원소 관계와 등호 관계)과 유한한 개수의 [[논리 기호]]로부터 이루어지므로, 이들을 재귀적으로 구성하는 유한 개의 규칙을 모방한 유한 개의 공리를 가정하면 충분하다. 따라서, NBG는 유한 공리화 가능하다.

NBG가 ZFC의 [[보존적 확장]]임을 증명하는 방법에는 여러 가지가 있다. 모든 ZFC의 [[모형 (논리학)|모형]]은 모형의 부분 집합들을 모아 만든 NBG의 모형으로 확대할 수 있다. 마찬가지로, 모든 NBG의 모형에서, 모형의 원소의 원소인 것들을 골라내면 ZFC의 모형을 얻는다. 따라서, [[괴델의 완전성 정리]]에 의하여 NBG는 ZFC의 [[보존적 확장]]이다.

모임에 대하여 한정 기호를 가하는 논리식이 모임을 정의하는 것을 허용하면 [[모스-켈리 집합론]]({{llang|en|Morse–Kelley set theory}}, 약자 MK)이 되는데, 이는 MK와 NBG의 공리계의 유일한 차이점이다. 이 ZFC의 확장은 더 이상 보존적이지 않으며, 더 이상 유한 공리화 가능하지 않다. 구체적으로, MK의 [[무모순성 세기]]는 ZFC와 [[큰 기수]] 공리를 통한 확장 사이에 있다.

== 공리화 ==
NBG는 [[집합]](set)과 [[모임 (집합론)|모임]](class) 2가지 객체를 다룰 수 있으며, 모든 집합은 모임이기도 하다. 이러한 객체의 존재를 수용하는 것을 통해 집합론적 역설을 피하여 모임을 다룰 수 있으며, 그 방식은 크게 베르나이스의 방법과 괴델의 방법 2가지로 나눌 수 있는데, 이들 간의 근본적인 차이는 없으며 주로 괴델의 진술 방식이 더 잘 쓰인다.

베르나이스는 두 개념마다 서로 다른 '타입'을 부여하여 따로 다루는 many-sorted logic 기법을 사용하였다. 이 경우 타입 간에 변수의 정의역이 서로 겹치지 않게 되기 때문에 포함관계(membership relation)도 서로 다른 2가지로 나눌 필요가 있는데, 하나는 집합 간의 포함관계인 ∈이고 다른 하나는 집합과 모임 간의 포함관계인 η이다. 집합과 모임을 서로 각각의 타입을 분류하는 이 방법은 언뜻 보면 직관적으로 보일 수 있으나 집합론의 구성에 있어서 많은 불편을 야기한다.

괴델은 기초 술어를 도입하여 이러한 분류를 피했다: <math>\mathfrak{Cls}(A)</math>는 "<math>A</math>가 모임이다"를 의미하고 <math>\mathfrak{M}(A)</math>는 "<math>A</math>가 집합이다"를 의미한다. 괴델은 여기에 모든 집합이 모임이라는 공리와 모임 A가 어떤 모임의 원소라면 A는 집합이 된다는 공리를 추가했다.<ref name=Godel1940p3>{{harvnb|Gödel|1940|p=3}}.</ref> Elliott Mendelson은 이를 수정하였는데, 우선 모든 것을 모임이라고 해두고 집합술어 <math>M(A)</math>를 <math>\exists C(A \in C)</math> 로 정의하였다.<ref>{{harvnb|Mendelson|1997|pp=225&ndash;226}}.</ref> 이렇게 하면 모임 술어와 2개의 공리를 생략할 수 있다.

전역 선택 공리(axiom of global choice)는 간단히 말해 ZFC의 [[선택 공리]]의 더 강력한 형태이다.<ref name=Godelp6>{{harvnb|Gödel|1940|p=6}}.</ref> 이 공리에 따르면 모든 비공집합들을 모은 모임 위에 전역 선택 함수 <math>G</math>가 존재하여 모든 비공집합 <math>x</math>에 대해 <math>G(x) \in x</math>가 성립한다.

== 정의 ==
'''폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론'''을 정의하는 방법은 다양하며, 여기에서는 논의 대상의 종류를 미리 구분하지 않는 방법을 소개한다. NBG는 종류를 갖지 않는 [[1차 논리|1차]] 이론이며, 유일한 [[이항 관계]] <math>\in</math>을 갖는다. 만약 <math>\exists Y\colon X\in Y</math>가 참이라면 (즉, 모임 <math>X</math>가 어떤 모임의 원소라면), [[모임 (집합론)|모임]] <math>X</math>가 '''[[집합]]'''이라고 한다. 편의상 대문자 변수 <math>X,Y,Z,\dots</math>와 소문자 변수 <math>x,y,z,\dots</math>를 사용하자. 소문자 변수 <math>x</math>에 대하여, <math>\forall x\colon\phi(x)</math>와 <math>\exists x\colon\phi(x)</math>은 각각
:<math>\forall x\colon(\exists Y\colon x\in Y)\implies\phi(x){}</math>
:<math>\exists x\colon(\exists Y\colon x\in Y)\land\phi(x){}</math>
를 뜻한다 (즉, 집합에 국한된 한정이다). 즉, 소문자 변수는 집합을 나타내며, 대문자 변수는 (집합일 수도, [[고유 모임]]일 수도 있는) 모임을 나타낸다.

NBG는 다음과 같은 공리들로 이루어진다.
* (확장 공리) <math>\forall X\forall Y\colon(\forall x\colon x\in X\iff x\in Y)\implies X=Y</math>
* 짝 공리, 합집합 공리, 무한 공리는 ZFC에서의 형태와 일치한다. (모든 한정 기호는 집합에 대한 한정으로 간주한다.)
* (분류 공리꼴) 모든 한정이 집합에 국한된, <math>Y</math>를 자유 변수로 갖지 않는 논리식 <math>\phi</math>에 대하여, <math>\phi</math>의 자유 변수가 <math>X_1,\dots,X_n,x</math>라고 할 때, <math>\forall X_1\cdots\forall X_n\exists Y\forall x\colon x\in Y\iff\phi</math>
* (치환 공리) <math>\forall F\colon V\to V\forall a\exists b\forall x\in a\colon F(x)\in b</math>
* ([[멱집합 공리]]) <math>\forall x\exists y\forall X\colon X\subseteq x\implies X\in y</math>
* ([[정칙성 공리]]) <math>\forall X\colon X\ne\varnothing\implies(\exists x\in X\colon x\cap X=\varnothing)</math>
* ([[대역적 선택 공리]]) <math>\exists F\colon V\to V\forall x\colon x\ne\varnothing\implies F(x)\in x</math>

== 성질 ==
NBG는 ZFC의 [[보존적 확장]]이며, [[유한 공리화 가능 이론]]이다. 마찬가지로, <math>\mathsf{NBG}-\mathsf{GC}</math> ([[대역적 선택 공리]]를 제거한 NBG)는 ZF의 [[유한 공리화 가능]] [[보존적 확장]]이다. 특히, (ZFC와 ZF가 등무모순적이므로) 이 네 이론은 서로 [[등무모순적]]이다. 사실, 다음 두 조건을 만족시키는 [[1차 논리]]의 이론은 항상 [[유한 공리화 가능]] [[보존적 확장]]을 갖는다.
* 공리계가 [[재귀 열거 집합]]을 이룬다.
* 모든 [[모형 (논리학)|모형]]은 [[무한 집합]]이다.

== 역사 ==
1925년에 [[존 폰 노이만]]이 함수와 변수(argument)의 개념을 사용하여 모임의 개념을 정의하여 집합론에 도입하는 시도를 행하였다.<ref name=VN1925def>{{harvnb|von Neumann|1925|pp=221&ndash;224, 226, 229}}; English translation: {{Harvnb|van&nbsp;Heijenoort|2002b|pp=396&ndash;398, 400, 403}}.</ref> 이후 [[파울 베르나이스]]가 모임과 집합을 기초적 개념으로 받아들인 채 폰 노이만의 이론을 재공식화하였다.<ref name=Bernays1937def>{{harvnb|Bernays|1937}}, pp. 66&ndash;67.</ref> [[쿠르트 괴델]]은 [[선택공리]]와 일반화된 [[연속체 가설]] 간의 [[무모순성|상대적 무모순성]] 증명에서 베르나이스의 이론을 단순화하였다.<ref name=Godel1940>{{harvnb|Gödel|1940}}.</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [https://web.archive.org/web/20160707012935/https://ncatlab.org/nlab/show/NBG NBG]. 《nLab》 {{언어링크|en}}
* {{인용|last = Bernays |first = Paul |title = A System of Axiomatic Set Theory—Part I |journal = The Journal of Symbolic Logic |volume = 2 |pages = 65&ndash;77 |year = 1937 |doi=10.2307/2268862 |jstor=2268862}}.
* {{인용|last=Gödel |first=Kurt |title=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory |edition=Revised |publisher=Princeton University Press |year=1940 |isbn=978-0-691-07927-1}}.
* {{인용|last=Mendelson |first=Elliott |year=1997 |title=An Introduction to Mathematical Logic |edition=4th |location=London |publisher=Chapman and Hall/CRC; |isbn=978-0-412-80830-2}}.
* {{인용|last=von Neumann |first=John |title=Eine Axiomatisierung der Mengenlehre |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 |journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik |volume=154 |pages=219–240 |year=1925}}.

{{집합론}}

[[분류:쿠르트 괴델의 작품]]
[[분류:집합론 체계]]
[[분류:수학기초론]]
[[분류:존 폰 노이만]]